Les investisseurs aiment se concentrer sur la promesse de rendements élevés, mais ils devraient également se demander quel risque ils doivent assumer en échange de ces rendements. Bien que nous parlions souvent du risque dans un sens général, il existe également des expressions formelles de la relation risque-récompense. Par exemple, le ratio de Sharpe mesure le rendement excédentaire par unité de risque, où le risque est calculé comme la volatilité, qui est une mesure de risque traditionnelle et populaire. Ses propriétés statistiques sont bien connues et il alimente plusieurs cadres, tels que la théorie moderne du portefeuille et le modèle de Black-Scholes., nous examinons la volatilité afin de comprendre ses usages et ses limites.
Écart type annualisé
Contrairement à la volatilité implicite - qui appartient à la théorie de la tarification des options et est une estimation prospective basée sur un consensus du marché - la volatilité régulière regarde en arrière. Plus précisément, il s'agit de l'écart-type annualisé des rendements historiques.
Les cadres de risque traditionnels qui reposent sur l'écart-type supposent généralement que les rendements sont conformes à une distribution normale en forme de cloche. Les distributions normales nous donnent des indications pratiques: environ les deux tiers du temps (68, 3%), les rendements devraient se situer dans un écart-type (+/-); et 95% du temps, les rendements devraient se situer dans les deux écarts-types. Deux qualités d'un graphique de distribution normale sont des «queues» maigres et une symétrie parfaite. Les queues maigres impliquent une occurrence très faible (environ 0, 3% du temps) de retours qui sont à plus de trois écarts-types de la moyenne. La symétrie implique que la fréquence et l'ampleur des gains à la hausse sont une image miroir des pertes à la baisse.
VOIR: Impact de la volatilité sur les rendements du marché
Par conséquent, les modèles traditionnels traitent toute incertitude comme un risque, quelle que soit la direction. Comme beaucoup de gens l'ont montré, c'est un problème si les rendements ne sont pas symétriques - les investisseurs s'inquiètent de leurs pertes "à gauche" de la moyenne, mais ils ne s'inquiètent pas des gains à droite de la moyenne.
Nous illustrons cette bizarrerie ci-dessous avec deux actions fictives. Le stock en baisse (ligne bleue) est totalement sans dispersion et produit donc une volatilité nulle, mais le stock en hausse - car il présente plusieurs chocs à la hausse mais pas une seule baisse - produit une volatilité (écart-type) de 10%.
Propriétés théoriques
Par exemple, lorsque nous calculons la volatilité de l'indice S&P 500 au 31 janvier 2004, nous passons de 14, 7% à 21, 1%. Pourquoi une telle gamme? Parce qu'il faut choisir à la fois un intervalle et une période historique. En ce qui concerne l'intervalle, nous avons pu collecter une série de retours mensuels, hebdomadaires ou quotidiens (voire intra-quotidiens). Et notre série de rendements peut s'étendre sur une période historique de n'importe quelle durée, comme trois ans, cinq ans ou 10 ans. Ci-dessous, nous avons calculé l'écart type des rendements du S&P 500 sur une période de 10 ans, en utilisant trois intervalles différents:
Notez que la volatilité augmente à mesure que l'intervalle augmente, mais pas presque en proportion: l'hebdomadaire n'est pas près de cinq fois le montant quotidien et le mensuel n'est pas près de quatre fois l'hebdomadaire. Nous sommes arrivés à un aspect clé de la théorie de la marche aléatoire: les échelles d'écart type (augmentent) proportionnellement à la racine carrée du temps. Par conséquent, si l'écart type quotidien est de 1, 1% et s'il y a 250 jours de bourse dans une année, l'écart type annualisé est l'écart type quotidien de 1, 1% multiplié par la racine carrée de 250 (1, 1% x 15, 8 = 18, 1%). Sachant cela, nous pouvons annualiser les écarts-types d'intervalle pour le S&P 500 en multipliant par la racine carrée du nombre d'intervalles dans une année:
Une autre propriété théorique de la volatilité peut vous surprendre ou non: elle érode les rendements. Cela est dû à l'hypothèse clé de l'idée de marche aléatoire: que les rendements sont exprimés en pourcentages. Imaginez que vous commencez avec 100 $, puis gagnez 10% pour obtenir 110 $. Ensuite, vous perdez 10%, ce qui vous rapporte 99 $ (110 $ x 90% = 99 $). Ensuite, vous gagnez à nouveau 10%, pour atteindre 108, 90 $ net (99 $ x 110% = 108, 9 $). Enfin, vous perdez 10% pour atteindre 98, 01 $ net. Cela peut être contre-intuitif, mais votre principal s'érode lentement même si votre gain moyen est de 0%!
Si, par exemple, vous vous attendez à un gain annuel moyen de 10% par an (c'est-à-dire une moyenne arithmétique), il s'avère que votre gain attendu à long terme est quelque chose de moins de 10% par an. En fait, il sera réduit d'environ la moitié de la variance (où la variance est l'écart-type au carré). Dans l'hypothèse pure ci-dessous, nous commençons avec 100 $, puis imaginons cinq ans de volatilité pour finir avec 157 $:
Le rendement annuel moyen sur cinq ans était de 10% (15% + 0% + 20% - 5% + 20% = 50% ÷ 5 = 10%), mais le taux de croissance annuel composé (TCAC ou rendement géométrique) est une mesure plus précise du gain réalisé, et il n'était que de 9, 49%. La volatilité a érodé le résultat et la différence représente environ la moitié de la variance de 1, 1%. Ces résultats ne proviennent pas d'un exemple historique, mais en termes d'attentes, étant donné un écart type de σ (la variance est le carré de l'écart-type), σ2 et un gain moyen attendu de μ le rendement annualisé attendu est d'environ μ− (σ2 ÷ 2).
Les retours se comportent-ils bien?
Le cadre théorique est sans aucun doute élégant, mais il dépend de rendements bien élevés. A savoir, une distribution normale et une marche aléatoire (ie indépendance d'une période à l'autre). Comment cela se compare-t-il à la réalité? Nous avons collecté ci-dessous les retours quotidiens des 10 dernières années pour le S&P 500 et le Nasdaq (environ 2500 observations quotidiennes):
Comme vous pouvez vous y attendre, la volatilité du Nasdaq (écart-type annualisé de 28, 8%) est supérieure à la volatilité du S&P 500 (écart-type annualisé à 18, 1%). Nous pouvons observer deux différences entre la distribution normale et les rendements réels. Premièrement, les rendements réels ont des pics plus élevés - ce qui signifie une plus grande prépondérance des rendements près de la moyenne. Deuxièmement, les retours réels ont une queue plus grosse. (Nos résultats concordent quelque peu avec des études universitaires plus approfondies, qui ont également tendance à trouver de hauts pics et des queues grasses; le terme technique pour cela est kurtosis). Disons que nous considérons moins trois écarts-types comme une grosse perte: le S&P 500 a connu une perte quotidienne de moins trois écarts-types environ -3, 4% du temps. La courbe normale prédit qu'une telle perte se produirait environ trois fois en 10 ans, mais elle s'est en fait produite 14 fois!
Ce sont des distributions de retours d'intervalle séparés, mais que dit la théorie sur les retours dans le temps? À titre de test, jetons un coup d'œil aux distributions quotidiennes réelles du S&P 500 ci-dessus. Dans ce cas, le rendement annuel moyen (au cours des 10 dernières années) était d'environ 10, 6% et, comme nous l'avons vu, la volatilité annualisée était de 18, 1%. Ici, nous effectuons un essai hypothétique en commençant avec 100 $ et en le maintenant sur 10 ans, mais nous exposons l'investissement chaque année à un résultat aléatoire qui était en moyenne de 10, 6% avec un écart-type de 18, 1%. Cet essai a été effectué 500 fois, ce qui en fait une simulation dite de Monte Carlo. Les résultats finaux des prix de 500 essais sont présentés ci-dessous:
Une distribution normale est présentée comme toile de fond uniquement pour mettre en évidence les résultats de prix très anormaux. Techniquement, les résultats finaux des prix sont lognormaux (ce qui signifie que si l'axe des x était converti en logarithme naturel de x, la distribution aurait l'air plus normale). Le fait est que plusieurs résultats de prix sont bien à droite: sur 500 essais, six résultats ont produit un résultat de fin de période de 700 $! Ces précieux résultats ont réussi à gagner plus de 20% en moyenne, chaque année, sur 10 ans. Du côté gauche, parce qu'un solde décroissant réduit les effets cumulatifs des pertes en pourcentage, nous n'avons obtenu qu'une poignée de résultats finaux inférieurs à 50 $. Pour résumer une idée difficile, nous pouvons dire que les rendements d'intervalle - exprimés en pourcentage - sont normalement distribués, mais les résultats finaux des prix sont log-normalement distribués.
VOIR: Modèles multivariés: l'analyse de Monte Carlo
Enfin, une autre conclusion de nos essais est cohérente avec les «effets d'érosion» de la volatilité: si votre investissement gagnait exactement la moyenne chaque année, vous détiendriez environ 273 $ à la fin (10, 6% composé sur 10 ans). Mais dans cette expérience, notre gain global attendu était plus proche de 250 $. En d'autres termes, le gain annuel moyen (arithmétique) était de 10, 6%, mais le gain cumulatif (géométrique) était moindre.
Il est essentiel de garder à l'esprit que notre simulation suppose une marche aléatoire: elle suppose que les retours d'une période à l'autre sont totalement indépendants. Nous n'avons prouvé cela en aucune façon, et ce n'est pas une hypothèse triviale. Si vous pensez que les retours suivent les tendances, vous dites techniquement qu'ils présentent une corrélation sérielle positive. Si vous pensez qu'ils reviennent à la moyenne, vous dites techniquement qu'ils présentent une corrélation sérielle négative. Aucune de ces positions n'est compatible avec l'indépendance.
The Bottom Line
La volatilité est l'écart-type annualisé des rendements. Dans le cadre théorique traditionnel, il mesure non seulement le risque, mais affecte les attentes de rendements à long terme (multi-périodes). En tant que tel, il nous demande d'accepter les hypothèses douteuses selon lesquelles les retours d'intervalle sont normalement distribués et indépendants. Si ces hypothèses sont vraies, la volatilité élevée est une arme à double tranchant: elle érode votre rendement à long terme attendu (elle réduit la moyenne arithmétique à la moyenne géométrique), mais elle vous donne également plus de chances de faire quelques gros gains.
VOIR: Volatilité implicite: acheter bas et vendre haut
