L'un des moyens les plus courants d'estimer le risque est l'utilisation d'une simulation de Monte Carlo (MCS). Par exemple, pour calculer la valeur à risque (VaR) d'un portefeuille, nous pouvons exécuter une simulation Monte Carlo qui tente de prédire la pire perte probable pour un portefeuille étant donné un intervalle de confiance sur un horizon temporel spécifié (nous devons toujours spécifier deux conditions de VaR: confiance et horizon)., nous passerons en revue un MCS de base appliqué à un cours de bourse en utilisant l'un des modèles les plus courants en finance: le mouvement brownien géométrique (GBM). Par conséquent, alors que la simulation de Monte Carlo peut faire référence à un univers d'approches différentes de la simulation, nous commencerons ici par la plus élémentaire.
Où commencer
Une simulation de Monte Carlo est une tentative de prédire l'avenir plusieurs fois. À la fin de la simulation, des milliers ou des millions «d'essais aléatoires» produisent une distribution des résultats qui peuvent être analysés. Les étapes de base sont les suivantes:
1. Spécifiez un modèle (par exemple GBM)
Pour cet article, nous utiliserons le mouvement géométrique brownien (GBM), qui est techniquement un processus de Markov. Cela signifie que le prix de l'action suit une marche aléatoire et est compatible (à tout le moins) avec la forme faible de l'hypothèse de marché efficace (EMH) - les informations sur les prix antérieurs sont déjà incorporées et le prochain mouvement de prix est "conditionnellement indépendant" du passé les mouvements de prix.
La formule pour GBM se trouve ci-dessous:
La SΔS = μΔt + σϵΔt où: S = le cours de l'actionΔS = la variation du cours de l'action μ = le rendement attenduσ = l'écart type des rendementsϵ = la variable aléatoire
Si nous réorganisons la formule à résoudre uniquement pour le changement du cours des actions, nous voyons que GBM dit que le changement du cours des actions est le cours des actions "S" multiplié par les deux termes figurant à l'intérieur des parenthèses ci-dessous:
La ΔS = S × (μΔt + σϵΔt)
Le premier terme est une «dérive» et le second terme est un «choc». Pour chaque période, notre modèle suppose que le prix "dérivera" du rendement attendu. Mais la dérive sera choquée (ajoutée ou soustraite) par un choc aléatoire. Le choc aléatoire sera l'écart type "s" multiplié par un nombre aléatoire "e". Il s'agit simplement d'un moyen de mettre à l'échelle l'écart type.
C'est l'essence même du GBM, comme l'illustre la figure 1. Le cours de l'action suit une série d'étapes, où chaque étape est une dérive plus ou moins un choc aléatoire (lui-même fonction de l'écart-type de l'action):
2. Générez des essais aléatoires
Armés d'une spécification de modèle, nous procédons ensuite à des essais aléatoires. Pour illustrer, nous avons utilisé Microsoft Excel pour exécuter 40 essais. Gardez à l'esprit qu'il s'agit d'un petit échantillon irréaliste; la plupart des simulations ou "sims" exécutent au moins plusieurs milliers d'essais.
Dans ce cas, supposons que le stock commence le jour zéro avec un prix de 10 $. Voici un tableau des résultats où chaque pas de temps (ou intervalle) est d'un jour et la série dure dix jours (en résumé: quarante essais avec des pas quotidiens sur dix jours):
Le résultat est quarante prix boursiers simulés au bout de 10 jours. Aucun n'est tombé en dessous de 9 $, et un est supérieur à 11 $.
3. Traitez la sortie
La simulation a produit une distribution des résultats futurs hypothétiques. Nous pourrions faire plusieurs choses avec la sortie.
Si, par exemple, nous voulons estimer la VaR avec un niveau de confiance de 95%, il suffit alors de localiser le trente-huitième résultat (le troisième pire résultat). C'est parce que 2/40 est égal à 5%, donc les deux pires résultats sont dans les 5% les plus bas.
Si nous empilons les résultats illustrés dans des bacs (chaque bac représente un tiers de 1 $, donc trois bacs couvrent l'intervalle de 9 $ à 10 $), nous obtiendrons l'histogramme suivant:
Image de Julie Bang © Investopedia 2020
N'oubliez pas que notre modèle GBM suppose la normalité; les retours de prix sont normalement distribués avec un retour attendu (moyenne) "m" et un écart type "s". Fait intéressant, notre histogramme ne semble pas normal. En fait, avec plus d'essais, cela ne tendra pas vers la normalité. Au lieu de cela, il tendra vers une distribution log-normale: une forte baisse à gauche de la moyenne et une "longue queue" très asymétrique à droite de la moyenne.
Cela conduit souvent à une dynamique potentiellement déroutante pour les nouveaux étudiants:
- Les retours de prix sont normalement distribués.
Pensez-y de cette façon: un titre peut remonter ou baisser de 5% ou 10%, mais après un certain laps de temps, le cours de l'action ne peut pas être négatif. De plus, les hausses de prix à la hausse ont un effet cumulatif, tandis que les baisses de prix à la baisse réduisent la base: perdez 10% et vous vous retrouvez avec moins à perdre la prochaine fois.
Voici un graphique de la distribution lognormale superposée à nos hypothèses illustrées (par exemple, prix de départ de 10 $):
Image de Julie Bang © Investopedia 2020
The Bottom Line
Une simulation de Monte-Carlo applique un modèle sélectionné (qui spécifie le comportement d'un instrument) à un large ensemble d'essais aléatoires dans le but de produire un ensemble plausible de résultats futurs possibles. En ce qui concerne la simulation des cours des actions, le modèle le plus courant est le mouvement brownien géométrique (GBM). GBM suppose qu'une dérive constante s'accompagne de chocs aléatoires. Alors que les retours de période sous GBM sont normalement distribués, les niveaux de prix qui en résultent sur plusieurs périodes (par exemple, dix jours) sont normalement distribués.
