La volatilité est la mesure de risque la plus courante, mais elle se décline en plusieurs saveurs. Dans un article précédent, nous avons montré comment calculer la volatilité historique simple., nous améliorerons la volatilité simple et discuterons de la moyenne mobile à pondération exponentielle (EWMA).
Volatilité historique vs implicite
Tout d'abord, mettons cette métrique en perspective. Il existe deux grandes approches: la volatilité historique et implicite (ou implicite). L'approche historique suppose que le passé est un prologue; nous mesurons l'histoire dans l'espoir qu'elle soit prédictive. La volatilité implicite, d'autre part, ignore l'histoire; il résout la volatilité induite par les prix du marché. Il espère que le marché connaît le mieux et que le prix du marché contient, même implicitement, une estimation consensuelle de la volatilité.
Si nous nous concentrons uniquement sur les trois approches historiques (à gauche ci-dessus), elles ont deux étapes en commun:
- Calculer la série de déclarations périodiques Appliquer un schéma de pondération
Tout d'abord, nous calculons le rendement périodique. Il s'agit généralement d'une série de rendements quotidiens où chaque rendement est exprimé en termes continuellement composés. Pour chaque jour, nous prenons le logarithme naturel du ratio des cours boursiers (c.-à-d. Le cours d'aujourd'hui divisé par le cours d'hier, etc.).
La Ui = lnsi − 1 si où: ui = retour le jour isi = cours de l'action le jour isi − 1 = cours de l'action la veille du jour i
Cela produit une série de rendements quotidiens, de u i à u im, selon le nombre de jours (m = jours) que nous mesurons.
Cela nous amène à la deuxième étape: c'est là que les trois approches diffèrent. Dans l'article précédent, nous avons montré que sous quelques simplifications acceptables, la variance simple est la moyenne des rendements au carré:
La Variance = σn2 = m1 Σi = 1m un − 12 où: m = nombre de jours mesurés n = dayiu = différence de rendement par rapport au rendement moyen
Notez que cela additionne chacun des rapports périodiques, puis divise ce total par le nombre de jours ou d'observations (m). Donc, c'est vraiment juste une moyenne des rendements périodiques au carré. Autrement dit, chaque retour au carré reçoit un poids égal. Donc, si alpha (a) est un facteur de pondération (spécifiquement, a = 1 / m), alors une simple variance ressemble à ceci:
L'EWMA améliore sa variance simple
La faiblesse de cette approche est que tous les rendements gagnent le même poids. Le rendement (très récent) d'hier n'a pas plus d'influence sur l'écart que le rendement du mois dernier. Ce problème est résolu en utilisant la moyenne mobile à pondération exponentielle (EWMA), dans laquelle les rendements plus récents ont un plus grand poids sur la variance.
La moyenne mobile à pondération exponentielle (EWMA) introduit lambda, qui est appelé le paramètre de lissage. Lambda doit être inférieur à un. Dans cette condition, au lieu de poids égaux, chaque retour au carré est pondéré par un multiplicateur comme suit:
Par exemple, RiskMetrics TM , une société de gestion des risques financiers, a tendance à utiliser un lambda de 0, 94, ou 94%. Dans ce cas, le premier rendement périodique quadratique (le plus récent) est pondéré par (1-0, 94) (0, 94) 0 = 6%. Le prochain retour au carré est simplement un lambda-multiple du poids précédent; dans ce cas 6% multiplié par 94% = 5, 64%. Et le poids du troisième jour précédent est égal à (1-0, 94) (0, 94) 2 = 5, 30%.
C'est le sens de "exponentielle" dans l'EWMA: chaque poids est un multiplicateur constant (ie lambda, qui doit être inférieur à un) du poids de la veille. Cela garantit une variance pondérée ou biaisée vers des données plus récentes. La différence entre simplement la volatilité et l'EWMA pour Google est illustrée ci-dessous.
La volatilité simple pèse effectivement chaque rendement périodique de 0, 196%, comme indiqué dans la colonne O (nous avions deux ans de données quotidiennes sur le prix des actions. Soit 509 rendements quotidiens et 1/509 = 0, 196%). Mais notez que la colonne P attribue un poids de 6%, puis 5, 64%, puis 5, 3% et ainsi de suite. C'est la seule différence entre la variance simple et l'EWMA.
Rappelez-vous: après avoir additionné la série entière (dans la colonne Q), nous avons la variance, qui est le carré de l'écart-type. Si nous voulons de la volatilité, nous devons nous rappeler de prendre la racine carrée de cette variance.
Quelle est la différence de volatilité quotidienne entre la variance et l'EWMA dans le cas de Google? C'est significatif: la simple variance nous a donné une volatilité quotidienne de 2, 4% mais l'EWMA a donné une volatilité quotidienne de seulement 1, 4% (voir le tableur pour plus de détails). Apparemment, la volatilité de Google s'est calmée plus récemment; par conséquent, une simple variance peut être artificiellement élevée.
L'écart d'aujourd'hui est fonction de l'écart de la veille
Vous remarquerez que nous devions calculer une longue série de poids en baisse exponentielle. Nous ne ferons pas le calcul ici, mais l'une des meilleures caractéristiques de l'EWMA est que la série entière se réduit facilement à une formule récursive:
La Σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 où: λ = le degré de pondération diminueσ2 = valeur à la période nu2 = valeur de l'EWMA à la période n
Récursif signifie que la variance d'aujourd'hui fait référence (c'est-à-dire est une fonction de la variance de la veille). Vous pouvez également trouver cette formule dans la feuille de calcul, et elle produit exactement le même résultat que le calcul à la main! Il dit: la variance d'aujourd'hui (sous EWMA) est égale à la variance d'hier (pondérée par lambda) plus le rendement au carré d'hier (pesé par un moins lambda). Remarquez comment nous ajoutons simplement deux termes ensemble: la variance pondérée d'hier et le rendement carré pondéré d'hier.
Même ainsi, lambda est notre paramètre de lissage. Un lambda plus élevé (par exemple, comme 94% de RiskMetric) indique une décroissance plus lente dans la série - en termes relatifs, nous aurons plus de points de données dans la série et ils "tomberont" plus lentement. En revanche, si nous réduisons le lambda, nous indiquons une décroissance plus élevée: les poids tombent plus rapidement et, en conséquence directe de la décroissance rapide, moins de points de données sont utilisés. (Dans la feuille de calcul, lambda est une entrée, vous pouvez donc expérimenter sa sensibilité).
Sommaire
La volatilité est l'écart type instantané d'un stock et la mesure de risque la plus courante. C'est aussi la racine carrée de la variance. Nous pouvons mesurer la variance historiquement ou implicitement (volatilité implicite). Lors de la mesure historique, la méthode la plus simple est une simple variance. Mais la faiblesse avec une simple variance est que tous les rendements ont le même poids. Nous sommes donc confrontés à un compromis classique: nous voulons toujours plus de données, mais plus nous avons de données, plus notre calcul est dilué par des données distantes (moins pertinentes). La moyenne mobile à pondération exponentielle (EWMA) améliore la variance simple en attribuant des poids aux rendements périodiques. Ce faisant, nous pouvons à la fois utiliser un échantillon de grande taille mais aussi accorder plus de poids aux déclarations plus récentes.
