Même si vous ne connaissez pas la distribution binomiale par son nom et que vous n'avez jamais suivi un cours avancé de statistiques universitaires, vous le comprenez naturellement. Vraiment, oui. C'est une façon d'évaluer la probabilité qu'un événement discret se produise ou ne se produise pas. Et il a de nombreuses applications en finance. Voici comment ça fonctionne:
Vous commencez par essayer quelque chose - des lancers de pièces, des lancers francs, des tours de roue de roulette, peu importe. La seule qualification est que le quelque chose en question doit avoir exactement deux résultats possibles. Succès ou échec, c'est tout. (Oui, une roulette a 38 résultats possibles. Mais du point de vue d'un parieur, il n'y en a que deux. Vous allez soit gagner, soit perdre.)
Nous utiliserons les lancers francs pour notre exemple, car ils sont un peu plus intéressants que les 50% de chances exactes et immuables d'une tête d'atterrissage de pièces. Disons que vous êtes Dirk Nowitzki des Dallas Mavericks, qui a touché 89, 9% de ses lancers francs l'année dernière. Nous l'appellerons 90% pour nos besoins. Si vous deviez le mettre en ligne dès maintenant, quelles sont les chances qu'il frappe (au moins) 9 sur 10?
Non, ils ne sont pas à 100%. Ils ne le sont pas non plus à 90%.
Ils sont 74%, croyez-le ou non. Voici la formule. Nous sommes tous des adultes ici, pas besoin d'avoir peur des exposants et des lettres grecques:
n est le nombre de tentatives. Dans ce cas, 10.
i est le nombre de succès, soit 9 ou 10. Nous calculerons la probabilité pour chacun, puis les ajouterons.
p est la probabilité de réussite de chaque événement individuel, qui est de 0, 9.
La chance d'atteindre l'objectif, c'est-à-dire la distribution binomiale des succès et des échecs, est la suivante:
La I = 0∑k (ni) pi (1 − p) n − i
Notation mathématique corrective, si vous avez besoin que les termes de cette expression soient détaillés:
La (Ni) = (n − i)! I! N!
C'est le «binôme» dans la distribution binomiale: c'est-à-dire deux termes. Nous ne nous intéressons pas seulement au nombre de succès, ni seulement au nombre de tentatives, mais aux deux. Chacun nous est inutile sans l'autre.
Notation mathématique plus corrective:! est factoriel: multiplier un entier positif par chaque plus petit entier positif. Par exemple, La 5! = 5 × 4 × 3 × 2
Branchez les chiffres, en vous rappelant que nous devons résoudre à la fois 9 lancers francs sur 10 et 10 sur 10, et nous obtenons
La (9! 1! 10! ×.9.9 ×.1.1) + (10! 10! ×.91 ×.10)
= 0, 387420489 (qui est la chance de frapper neuf) + 0, 3486784401 (la chance de frapper tous les dix)
= 0, 736098929
Il s'agit de la distribution cumulative , par opposition à la simple distribution de probabilité . La distribution cumulative est la somme de plusieurs distributions de probabilités (dans notre cas, ce serait deux.) La distribution cumulative calcule les chances de toucher une plage de valeurs - ici, 9 ou 10 sur 10 lancers francs - au lieu d'un seul valeur. Lorsque nous demandons quelles sont les chances que Nowitzki frappe 9 sur 10, il faut comprendre que nous voulons dire «9 ou mieux sur 10», et non «exactement 9 sur 10.»
Alors qu'est-ce que cela a à voir avec la finance? Plus que vous ne le pensez. Disons que vous êtes une banque, un prêteur, qui connaît à trois décimales près la probabilité qu'un emprunteur particulier fasse défaut. Quelles sont les chances d'un si grand nombre d'emprunteurs défaillants qu'ils rendraient la banque insolvable? Une fois que vous avez utilisé la fonction de distribution binomiale cumulative pour calculer ce nombre, vous avez une meilleure idée de la tarification de l'assurance, et finalement du montant à prêter et du montant à garder en réserve.
Vous êtes-vous déjà demandé comment les prix initiaux des options sont déterminés? Même chose, en quelque sorte. Si une action sous-jacente volatile a une chance p d'atteindre un prix particulier, vous pouvez voir comment l'action évolue sur une série de n périodes pour déterminer à quel prix les options devraient se vendre. (Prêt pour des techniques de trading plus avancées? Consultez l'article d'Investopedia sur les stratégies d'utilisation des indicateurs techniques.)
L'application de la fonction de distribution binomiale au financement donne des résultats surprenants, voire complètement contre-intuitifs; un peu comme la chance d'un tireur de lancers francs à 90% d'atteindre 90% de ses lancers francs soit quelque chose de moins de 90%. Supposons que vous ayez un titre qui a autant de chances de gagner 20% que de perdre 20%. Si le prix du titre venait à chuter de 20%, quelles sont les chances qu'il rebondisse à son niveau initial? N'oubliez pas qu'un simple gain correspondant de 20% ne suffira pas: un titre qui chute de 20% puis gagne 20% sera toujours en baisse de 4%. Continuez à alterner les chutes et les gains de 20%, et le stock ne finira pas par valoir.
The Bottom Line
Les analystes connaissant bien la distribution binomiale disposent d'un ensemble d'outils de qualité supplémentaires pour déterminer les prix, évaluer les risques et éviter les résultats désagréables qui peuvent résulter d'une préparation insuffisante. Lorsque vous comprendrez la distribution binomiale et ses résultats souvent surprenants, vous serez bien en avance sur les masses.
