La valeur des actifs financiers varie quotidiennement. Les investisseurs ont besoin d'un indicateur pour quantifier ces changements qui sont souvent difficiles à prévoir. L'offre et la demande sont les deux principaux facteurs qui affectent les variations des prix des actifs. En contrepartie, les mouvements de prix reflètent une amplitude de fluctuations, qui sont à l'origine des profits et pertes proportionnels. Du point de vue d'un investisseur, l'incertitude entourant ces influences et fluctuations est appelée risque.
Le prix d'une option dépend de sa capacité sous-jacente à se déplacer, ou en d'autres termes de sa capacité à être volatile. Plus il a de chances de déménager, plus sa prime sera proche de l'expiration. Ainsi, le calcul de la volatilité d'un actif sous-jacent aide les investisseurs à évaluer les dérivés en fonction de cet actif.
Mesurer la variation de l'actif
Une façon de mesurer la variation d'un actif consiste à quantifier les rendements quotidiens (mouvement en pourcentage sur une base quotidienne) de l'actif. Cela nous amène à la définition et au concept de volatilité historique. La volatilité historique est basée sur les prix historiques et représente le degré de variabilité des rendements d'un actif. Ce nombre est sans unité et est exprimé en pourcentage. (Pour plus d'informations, voir: « Que signifie réellement la volatilité ».)
Calcul de la volatilité historique
Si nous appelons P (t) le prix d'un actif financier (actif en devises, actions, paire de devises, etc.) au temps t et P (t-1) le prix de l'actif financier à t-1, nous définissons le rendement quotidien r (t) de l'actif au temps t par:
r (t) = ln (P (t) / P (t-1)) avec Ln (x) = fonction logarithme naturel.
Le rendement total R au temps t est:
R = r1 + r2 + r3 + 2 +… + rt-1 + rt, ce qui équivaut à:
R = Ln (P1 / P0) +… Ln (Pt-1 / Pt-2) + Ln (Pt / Pt-1)
Nous avons l'égalité suivante:
Ln (a) + Ln (b) = Ln (a * b)
Donc, cela donne:
R = Ln
R = Ln
Et, après simplification, nous avons R = Ln (Pt / P0).
Le rendement est généralement calculé comme la différence des variations de prix relatifs. Cela signifie que si un actif a un prix de P (t) au temps t et P (t + h) au temps t + h> t, le rendement (r) est:
r = (P (t + t) -P (t)) / P (t) = - 1
Lorsque le rendement est faible, comme seulement quelques pour cent, nous avons:
r ≈ Ln (1 + r)
On peut substituer r au logarithme du prix actuel puisque:
r ≈ Ln (1 + r)
r ≈ Ln (1 + (- 1))
r ≈ Ln (P (t + h) / P (t))
À partir d'une série de cours de clôture par exemple, il suffit de prendre le logarithme du ratio de deux prix consécutifs pour calculer les rendements quotidiens r (t).
Ainsi, on peut également calculer le rendement total R en utilisant uniquement les prix initial et final.
Volatilité annualisée
Pour apprécier pleinement les différentes volatilités sur une période d'un an, nous multiplions cette volatilité par un facteur qui explique la variabilité des actifs sur un an.
Pour ce faire, nous utilisons la variance. La variance est le carré de l'écart par rapport aux rendements quotidiens moyens pour une journée.
Pour calculer le nombre carré des écarts par rapport aux rendements quotidiens moyens pendant 365 jours, nous multiplions la variance par le nombre de jours (365). L'écart type annualisé est trouvé en prenant la racine carrée du résultat:
Variance = σ²daily =
Pour la variance annualisée, si nous supposons que l'année est de 365 jours et que chaque jour a la même variance quotidienne, σ² quotidiennement, nous obtenons:
Variance annualisée = 365. σ²daily
Écart annualisé = 365.
Enfin, comme la volatilité est définie comme la racine carrée de la variance:
Volatilité = √ (variance annualisée)
Volatilité = √ (365. ²² quotidiennement)
Volatilité = √ (365.)
Simulation
Les données
Nous simulons à partir de la fonction Excel = RANDBETWEEN un cours de bourse qui varie quotidiennement entre 94 et 104.
Calcul des rendements quotidiens
Dans la colonne E, nous entrons "Ln (P (t) / P (t-1))".
Calculer le carré des rendements quotidiens
Dans la colonne G, nous inscrivons "(Ln (P (t) / P (t-1)) ^ 2".
Calcul de la variance quotidienne
Pour calculer la variance, nous prenons la somme des carrés obtenus et divisons par le (nombre de jours -1). Donc:
- Dans la cellule F25, nous avons "= somme (F6: F19)".
- Dans la cellule F26, nous calculons "= F25 / 18" car nous avons 19 -1 points de données pour ce calcul.
Calcul de l'écart type quotidien
Pour calculer l'écart type sur une base quotidienne, nous calculons la racine carrée de la variance quotidienne. Donc:
- Dans la cellule F28, nous calculons "= Square.Root (F26)".
- Dans la cellule G29, la cellule F28 est indiquée en pourcentage.
Calcul de la variance annualisée
Pour calculer la variance annualisée à partir de la variance quotidienne, nous supposons que chaque jour a la même variance, et nous multiplions la variance quotidienne par 365 avec les week-ends inclus. Donc:
- Dans la cellule F30, nous avons "= F26 * 365".
Calcul de l'écart type annualisé
Pour calculer l'écart type annualisé, il suffit de calculer la racine carrée de la variance annualisée. Donc:
- Dans la cellule F32, nous avons "= ROOT (F30)".
- Dans la cellule G33, la cellule F32 est indiquée en pourcentage.
Cette racine carrée de la variance annualisée nous donne la volatilité historique.
