Les intérêts composés sont des intérêts calculés sur le principal initial ainsi que sur les intérêts cumulés des périodes précédentes d'un dépôt ou d'un prêt. L'effet de l'intérêt composé dépend de la fréquence.
Supposons un taux d'intérêt annuel de 12%. Si nous commençons l'année avec 100 $ et ne composons qu'une seule fois, à la fin de l'année, le principal passe à 112 $ (100 $ x 1, 12 = 112 $). Si nous composons plutôt chaque mois à 1%, nous nous retrouvons avec plus de 112 $ à la fin de l'année. Soit 100 $ x 1, 01 ^ 12 à 112, 68 $. (C'est plus élevé parce que nous avons composé plus fréquemment.)
Les rendements composés en continu sont les plus fréquents de tous. La composition continue est la limite mathématique que l'intérêt composé peut atteindre. Il s'agit d'un cas extrême de composition, car la plupart des intérêts sont composés sur une base mensuelle, trimestrielle ou semestrielle.
Taux de rendement semestriels
Tout d'abord, examinons une convention potentiellement déroutante. Sur le marché obligataire, nous nous référons à un rendement équivalent aux obligations (ou base équivalente aux obligations). Cela signifie que si une obligation rapporte 6% sur une base semestrielle, son rendement équivalent à une obligation est de 12%.
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Le rendement semestriel est simplement doublé. Cela peut prêter à confusion car le rendement effectif d'une obligation à rendement équivalent à 12% est de 12, 36% (soit 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Le doublement du rendement semestriel n'est qu'une convention de dénomination des obligations. Par conséquent, si nous lisons une obligation composée à 8% semestriellement, nous supposons que cela fait référence à un rendement semestriel de 4%.
Taux de rendement trimestriel, mensuel et quotidien
Maintenant, discutons des fréquences plus élevées. Nous supposons toujours un taux d'intérêt annuel de 12% sur le marché. En vertu des conventions de dénomination des obligations, cela implique un taux composé semestriel de 6%. Nous pouvons désormais exprimer le taux composé trimestriel en fonction du taux d'intérêt du marché.
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Étant donné un taux de marché annuel ( r), le taux composé trimestriel ( r q) est donné par:
La Rq = 4
Ainsi, pour notre exemple, où le taux de marché annuel est de 12%, le taux composé trimestriel est de 11, 825%:
La Rq = 4≅11, 825%
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Une logique similaire s'applique à la composition mensuelle. Le taux composé mensuel ( r m ) est donné ici en fonction du taux d'intérêt annuel du marché ( r):
Le taux composé quotidien ( d) en fonction du taux d'intérêt du marché ( r) est donné par:
La rd = 360 = 360≅11, 66%
Fonctionnement de la composition continue
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Si nous augmentons la fréquence composée à sa limite, nous composons continuellement. Bien que cela ne soit pas pratique, le taux d'intérêt composé en continu offre des propriétés merveilleusement pratiques. Il s'avère que le taux d'intérêt composé en continu est donné par:
La Rcontinu = ln (1 + r)
Ln () est le logarithme naturel et dans notre exemple, le taux composé en continu est donc:
La Rcontinu = ln (1 + 0, 12) = ln (1, 12) ≅11, 33%
On arrive au même endroit en prenant le logarithme naturel de ce rapport: la valeur finale divisée par la valeur initiale.
La Rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (100112) ≅11, 33%
Ce dernier est courant lors du calcul du rendement composé en continu d'un titre. Par exemple, si le stock passe de 10 $ un jour à 11 $ le lendemain, le rendement quotidien composé en continu est donné par:
La Rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (10 $ 11 $) ≅9, 53%
Qu'y a-t-il de si génial dans le taux (ou le rendement) continuellement composé que nous désignerons par r c ? Tout d'abord, il est facile de le faire évoluer. Étant donné un principal de (P), notre richesse finale sur (n) années est donnée par:
La W = Perc n
Notez que e est la fonction exponentielle. Par exemple, si nous commençons avec 100 $ et que nous composons continuellement à 8% sur trois ans, la richesse finale est donnée par:
La W = 100 $ e (0, 08) (3) = 127, 12 $
L'actualisation à la valeur actuelle (PV) est simplement composée à l'inverse , de sorte que la valeur actuelle d'une valeur future (F) composée en continu à un taux de ( r c) est donnée par:
La PV de F reçue en (n) années = erc nF = Fe − rc n
Par exemple, si vous allez recevoir 100 $ en trois ans sous un taux continu de 6%, sa valeur actuelle est donnée par:
La PV = Fe − rc n = (100 $) e− (0, 06) (3) = 100 $ e − 0, 18≅ 83, 53 $
Mise à l'échelle sur plusieurs périodes
La propriété pratique des rendements composés en continu est qu'ils évoluent sur plusieurs périodes. Si le rendement pour la première période est de 4% et le rendement pour la deuxième période est de 3%, alors le rendement sur deux périodes est de 7%. Considérons que nous commençons l'année avec 100 $, ce qui passe à 120 $ à la fin de la première année, puis à 150 $ à la fin de la deuxième année. Les rendements composés en continu sont respectivement de 18, 23% et 22, 31%.
La Ln (100120) ≅18, 23%
La Ln (120150) ≅22, 31%
Si nous les additionnons simplement ensemble, nous obtenons 40, 55%. Voici le retour sur deux périodes:
La Ln (100150) ≅40, 55%
Techniquement parlant, le retour continu est cohérent dans le temps. La cohérence temporelle est une exigence technique pour la valeur à risque (VAR). Cela signifie que si un retour à période unique est une variable aléatoire normalement distribuée, nous voulons que les variables aléatoires à périodes multiples soient également distribuées normalement. En outre, le rendement composé en continu sur plusieurs périodes est normalement distribué (contrairement, disons, à un simple pourcentage de rendement).
The Bottom Line
Nous pouvons reformuler les taux d'intérêt annuels en taux d'intérêt semestriels, trimestriels, mensuels ou quotidiens (ou taux de rendement). La composition la plus fréquente est la composition continue, qui nous oblige à utiliser un logarithme naturel et une fonction exponentielle, qui est couramment utilisée en finance en raison de ses propriétés souhaitables - elle évolue facilement sur plusieurs périodes et est cohérente dans le temps.
