Table des matières
- Distribution normale (courbe de Bell)
- Risque et retours
- Théorie du portfolio moderne
- Les blocs de construction
- Un exemple rapide de MPT
- Les défis du MPT et de la distribution
- The Bottom Line
La distribution normale est la distribution de probabilité qui trace toutes ses valeurs de manière symétrique avec la plupart des résultats situés autour de la moyenne de la probabilité.
Distribution normale (courbe de Bell)
Les ensembles de données (comme la taille de 100 humains, les notes obtenues par 45 élèves dans une classe, etc.) ont tendance à avoir de nombreuses valeurs au même point de données ou dans la même plage. Cette distribution des points de données est appelée distribution normale ou courbe en cloche.
Par exemple, dans un groupe de 100 individus, 10 peuvent mesurer moins de 5 pieds de haut, 65 peuvent mesurer entre 5 et 5, 5 pieds et 25 peuvent dépasser 5, 5 pieds. Cette distribution liée à la plage peut être tracée comme suit:
De même, les points de données tracés dans des graphiques pour un ensemble de données donné peuvent ressembler à différents types de distributions. Trois des plus courantes sont les distributions alignées à gauche, alignées à droite et brouillées:
Notez la ligne de tendance rouge dans chacun de ces graphiques. Cela indique approximativement la tendance de la distribution des données. Le premier, «Distribution alignée à GAUCHE», indique qu'une majorité des points de données se situe dans la plage inférieure. Dans le deuxième graphique «Distribution alignée à DROITE», la majorité des points de données se situent dans la partie supérieure de la fourchette, tandis que le dernier, «Distribution aléatoire», représente un ensemble de données mixte sans tendance claire.
Il existe de nombreux cas où la distribution des points de données tend à se situer autour d'une valeur centrale, et ce graphique montre une distribution normale parfaite - également équilibrée des deux côtés, avec le plus grand nombre de points de données concentrés au centre.
Voici un ensemble de données parfait et normalement distribué:
La valeur centrale ici est 50 (qui a le plus grand nombre de points de données), et la distribution diminue progressivement vers des valeurs extrêmes extrêmes de 0 et 100 (qui ont le moins de points de données). La distribution normale est symétrique autour de la valeur centrale avec la moitié des valeurs de chaque côté.
De nombreux exemples réels correspondent à la distribution de la courbe en cloche:
- Lancez une pièce juste plusieurs fois (disons 100 fois ou plus) et vous obtiendrez une répartition normale équilibrée des têtes et des queues.Lancez une paire de dés équitables plusieurs fois (disons 100 fois ou plus) et le résultat sera un équilibre, normal distribution centrée autour du nombre 7 et diminuant uniformément vers les valeurs extrêmes de 2 et 12. La taille des individus dans un groupe de taille considérable et les notes obtenues par les personnes d'une classe suivent toutes deux des schémas de distribution normaux. valeurs de journal des taux de change, des indices de prix et des cours des actions sont supposés être normalement distribués.
Risque et retours
Tout investissement a deux aspects: le risque et le rendement. Les investisseurs recherchent le risque le plus faible possible pour le rendement le plus élevé possible. La distribution normale quantifie ces deux aspects par la moyenne des rendements et l'écart type du risque. (Pour plus d'informations, voir «Analyse de la variance moyenne».)
Valeur moyenne ou attendue
Un changement moyen particulier du prix d'une action pourrait être de 1, 5% sur une base quotidienne - ce qui signifie qu'en moyenne, il augmente de 1, 5%. Cette valeur moyenne ou valeur attendue signifiant un retour peut être obtenue en calculant la moyenne sur un ensemble de données suffisamment grand contenant les variations de prix quotidiennes historiques de ce stock. Plus la moyenne est élevée, mieux c'est.
Écart-type
L'écart type indique le montant par lequel les valeurs s'écartent en moyenne de la moyenne. Plus l'écart-type est élevé, plus l'investissement est risqué, car il entraîne plus d'incertitude.
Voici une représentation graphique de la même chose:
Par conséquent, la représentation graphique de la distribution normale à travers sa moyenne et son écart-type permet de représenter à la fois les rendements et les risques dans une fourchette clairement définie.
Il permet de savoir (et d'être assuré avec certitude) que si certains ensembles de données suivent le schéma de distribution normal, sa moyenne nous permettra de savoir ce que l'on attend de retour, et son écart-type nous permettra de savoir qu'environ 68% des valeurs sera à l'intérieur de 1 écart-type, 95% à l'intérieur de 2 écarts-types et 99% des valeurs tomberont à moins de 3 écarts-types. Un ensemble de données qui a une moyenne de 1, 5 et un écart-type de 1 est beaucoup plus risqué qu'un autre ensemble de données ayant une moyenne de 1, 5 et un écart-type de 0, 1.
La connaissance de ces valeurs pour chaque actif sélectionné (c.-à-d. Actions, obligations et fonds) rendra l'investisseur conscient des rendements et des risques attendus.
Il est facile d'appliquer ce concept et de représenter le risque et le rendement d'une seule action, obligation ou fonds. Mais cela peut-il être étendu à un portefeuille de plusieurs actifs?
Les particuliers commencent à négocier en achetant une seule action ou obligation ou en investissant dans un fonds commun de placement. Progressivement, ils ont tendance à augmenter leurs avoirs et à acheter plusieurs actions, fonds ou autres actifs, créant ainsi un portefeuille. Dans ce scénario progressif, les individus construisent leurs portefeuilles sans stratégie ni beaucoup de prévoyance. Les gestionnaires de fonds professionnels, les commerçants et les teneurs de marché suivent une méthode systématique pour construire leur portefeuille en utilisant une approche mathématique appelée théorie du portefeuille moderne (MPT) qui est fondée sur le concept de «distribution normale».
Théorie du portfolio moderne
La théorie moderne du portefeuille (MPT) propose une approche mathématique systématique qui vise à maximiser le rendement attendu d'un portefeuille pour un montant donné de risque de portefeuille en sélectionnant les proportions des différents actifs. Alternativement, il propose également de minimiser le risque pour un niveau donné de rendement attendu.
Pour atteindre cet objectif, les actifs à inclure dans le portefeuille ne doivent pas être sélectionnés uniquement sur la base de leur propre mérite individuel, mais plutôt sur la performance de chaque actif par rapport aux autres actifs du portefeuille.
En bref, MPT définit la meilleure façon de réaliser la diversification du portefeuille pour les meilleurs résultats possibles: des rendements maximaux pour un niveau de risque acceptable ou un risque minimal pour un niveau de rendement souhaité.
Les blocs de construction
Le MPT était un concept tellement révolutionnaire lors de son introduction que ses inventeurs ont remporté un prix noble. Cette théorie a fourni avec succès une formule mathématique pour guider la diversification de l'investissement.
La diversification est une technique de gestion des risques, qui élimine le risque «tous les œufs dans le même panier» en investissant dans des actions, des secteurs ou des classes d'actifs non corrélés. Idéalement, la performance positive d'un actif du portefeuille annulera la performance négative d'autres actifs.
Pour prendre le rendement moyen du portefeuille qui a n actifs différents, la combinaison pondérée proportionnellement des rendements des actifs constitutifs est calculée.
En raison de la nature des calculs statistiques et de la distribution normale, le rendement global du portefeuille (R p) est calculé comme suit:
La Rp = ∑wi Ri
La somme (∑), où w i est le poids proportionnel de l'actif i dans le portefeuille, R i est le rendement (moyenne) de l'actif i.
Le risque de portefeuille (ou écart-type) est fonction des corrélations des actifs inclus, pour toutes les paires d'actifs (les uns par rapport aux autres dans la paire).
En raison de la nature des calculs statistiques et de la distribution normale, le risque global du portefeuille (Std-dev) p est calculé comme suit:
La (Std-dev) p = sqrt
Ici, cor-cof est le coefficient de corrélation entre les rendements des actifs i et j, et sqrt est la racine carrée.
Cela prend en charge la performance relative de chaque actif par rapport à l'autre.
Bien que cela semble mathématiquement complexe, le concept simple appliqué ici inclut non seulement les écarts-types des actifs individuels, mais aussi ceux qui sont liés les uns par rapport aux autres.
Un bon exemple est disponible ici à l'Université de Washington.
Un exemple rapide de MPT
Comme expérience de réflexion, imaginons que nous sommes un gestionnaire de portefeuille qui a reçu du capital et qui est chargé de la quantité de capital à allouer à deux actifs disponibles (A et B) afin que le rendement attendu soit maximisé et le risque réduit.
Nous avons également les valeurs suivantes disponibles:
R a = 0, 175
R b = 0, 055
(Std-dev) a = 0, 258
(Std-dev) b = 0, 115
(Std-dev) ab = -0, 004875
(Cor-cof) ab = -0, 164
En commençant par une allocation égale de 50 à 50 à chaque actif A et B, le R p est calculé à 0, 115 et (Std-dev) p à 0, 1323. Une simple comparaison nous indique que pour ce portefeuille de 2 actifs, le rendement ainsi que le risque sont à mi-chemin entre les valeurs individuelles de chaque actif.
Cependant, notre objectif est d'améliorer le rendement du portefeuille au-delà de la simple moyenne de chaque actif individuel et de réduire le risque, afin qu'il soit inférieur à celui des actifs individuels.
Prenons maintenant une position d'allocation de capital de 1, 5 dans l'actif A et une position d'allocation de capital de -0, 5 dans l'actif B. (Une allocation de capital négative signifie que le stock et le capital reçus sont utilisés pour acheter le surplus de l'autre actif avec une allocation de capital positive. en d'autres termes, nous court-circuitons le stock B pour 0, 5 fois le capital et utilisons cet argent pour acheter le stock A pour un montant de 1, 5 fois le capital.)
En utilisant ces valeurs, nous obtenons R p comme 0, 1604 et (Std-dev) p comme 0, 4005.
De même, nous pouvons continuer à utiliser différentes pondérations d'allocation pour les actifs A et B, et arriver à différents ensembles de Rp et (Std-dev) p. Selon le rendement souhaité (Rp), on peut choisir le niveau de risque le plus acceptable (std-dev) p. Alternativement, pour le niveau de risque souhaité, on peut sélectionner le meilleur rendement du portefeuille disponible. Quoi qu'il en soit, grâce à ce modèle mathématique de la théorie du portefeuille, il est possible d'atteindre l'objectif de créer un portefeuille efficace avec la combinaison de risque et de rendement souhaitée.
L'utilisation d'outils automatisés permet de détecter facilement et en douceur les meilleures proportions allouées possibles, sans avoir besoin de longs calculs manuels.
La frontière efficace, le modèle de tarification des immobilisations (CAPM) et la tarification des actifs utilisant le MPT évoluent également à partir du même modèle de distribution normal et sont une extension du MPT.
Défis pour le MPT (et la distribution normale sous-jacente)
Malheureusement, aucun modèle mathématique n'est parfait et chacun a des insuffisances et des limites.
L'hypothèse de base selon laquelle les rendements des actions suivent une distribution normale elle-même est remise en question à maintes reprises. Il existe une preuve empirique suffisante des cas où les valeurs n'adhèrent pas à la distribution normale supposée. Baser des modèles complexes sur de telles hypothèses peut conduire à des résultats avec de grands écarts.
Pour aller plus loin dans le MPT, les calculs et les hypothèses concernant le coefficient de corrélation et la covariance restant fixes (sur la base des données historiques) ne sont pas nécessairement valables pour les valeurs attendues futures. Par exemple, les marchés obligataires et boursiers ont montré une parfaite corrélation sur le marché britannique de 2001 à 2004, où les rendements des deux actifs ont baissé simultanément. En réalité, l'inverse a été observé sur de longues périodes historiques avant 2001.
Le comportement des investisseurs n'est pas pris en compte dans ce modèle mathématique. Les taxes et les coûts de transaction sont négligés, même si l'on suppose une répartition fractionnée du capital et la possibilité de court-circuiter les actifs.
En réalité, aucune de ces hypothèses ne peut être vraie, ce qui signifie que les rendements financiers réalisés peuvent différer considérablement des bénéfices attendus.
The Bottom Line
Les modèles mathématiques fournissent un bon mécanisme pour quantifier certaines variables avec des nombres uniques et traçables. Mais en raison des limites des hypothèses, les modèles peuvent échouer.
La distribution normale, qui constitue la base de la théorie du portefeuille, ne s'applique pas nécessairement aux actions et aux autres modèles de prix des actifs financiers. La théorie du portefeuille en elle-même comporte de nombreuses hypothèses qui doivent être examinées de manière critique avant de prendre des décisions financières importantes.
