La duration de Macaulay et la duration modifiée sont principalement utilisées pour calculer les durées des obligations. La duration de Macaulay calcule le temps moyen pondéré avant qu'un porteur d'obligations ne reçoive les flux de trésorerie de l'obligation. À l'inverse, la duration modifiée mesure la sensibilité au prix d'une obligation en cas de variation du rendement à l'échéance.
La durée de Macaulay
La durée de Macaulay est calculée en multipliant la période par le paiement périodique du coupon et en divisant la valeur résultante par 1 plus le rendement périodique augmenté jusqu'à l'échéance. Ensuite, la valeur est calculée pour chaque période et additionnée. Ensuite, la valeur résultante est ajoutée au nombre total de périodes multiplié par la valeur nominale, divisé par 1, plus le rendement périodique élevé au nombre total de périodes. Ensuite, la valeur est divisée par le prix actuel des obligations.
La Macaulay Duration = Prix actuel de l’obligation (∑t = 1n (1 + y) tt ∗ C + (1 + y) nn ∗ M) où: C = paiement périodique du coupony = rendement périodiqueM = la maturité de l’obligation valuen = durée de l'obligation en périodes
Le prix d'une obligation est calculé en multipliant le flux de trésorerie par 1, moins 1, divisé par 1, plus le rendement à l'échéance, porté au nombre de périodes divisé par le rendement requis. La valeur résultante est ajoutée à la valeur nominale, ou valeur à l'échéance, de l'obligation divisée par 1, plus le rendement à l'échéance porté au nombre total de périodes.
Par exemple, supposons que la durée Macaulay d'une obligation à cinq ans ayant une valeur à l'échéance de 5000 $ et un taux de coupon de 6% est de 4, 87 ans ((1 * 60) / (1 + 0, 06) + (2 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0, 06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0, 06) ^ -5) / (0, 06)) + (5000 / (1 + 0, 06) ^ 5)).
La duration modifiée de cette obligation, avec un rendement à l'échéance de 6% pour une période de coupon, est de 4, 59 ans (4, 87 / (1 + 0, 06 / 1). Par conséquent, si le rendement à l'échéance passe de 6% à 7%, le la durée de l'obligation diminuera de 0, 28 an (4, 87 - 4, 59).
La formule pour calculer la variation en pourcentage du prix de l'obligation est la variation du rendement multipliée par la valeur négative de la durée modifiée multipliée par 100%. Cette variation en pourcentage de l'obligation qui en résulte, pour une augmentation de rendement de 1%, est estimée à -4, 59% (0, 01 * - 4, 59 * 100%).
La durée modifiée
La Durée modifiée = (1 + nYTM) Durée de Macauley où: YTM = rendement à l'échéance
La duration modifiée est une version ajustée de la duration de Macaulay, qui tient compte de l'évolution du rendement en échéances. La formule de la duration modifiée est la valeur de la duration de Macaulay divisée par 1, plus le rendement à l'échéance, divisé par le nombre de périodes de coupon par an. La duration modifiée détermine les variations de la durée et du prix d'une obligation pour chaque variation en pourcentage du rendement à l'échéance.
Par exemple, supposons qu'une obligation de six ans a une valeur nominale de 1 000 $ et un taux de coupon annuel de 8%. La durée de Macaulay est calculée à 4, 99 ans ((1 * 80) / (1 + 0, 08) + (2 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0, 08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0, 08) ^ -6) / 0, 08 + 1000 / (1 + 0, 08) ^ 6).
La durée modifiée de cette obligation, avec un rendement à l'échéance de 8% pour une période de coupon, est de 4, 62 ans (4, 99 / (1 + 0, 08 / 1). Par conséquent, si le rendement à l'échéance passe de 8% à 9%, le la durée de l'obligation diminuera de 0, 37 an (4, 99 - 4, 62).
La formule pour calculer la variation en pourcentage du prix de l'obligation est la variation du rendement multipliée par la valeur négative de la durée modifiée multipliée par 100%. Cette variation en pourcentage de l'obligation qui en résulte, pour une augmentation des taux d'intérêt de 8% à 9%, est estimée à -4, 62% (0, 01 * - 4, 62 * 100%).
Par conséquent, si les taux d'intérêt augmentent de 1% du jour au lendemain, le prix de l'obligation devrait baisser de 4, 62%.
Les swaps de duration et de taux d'intérêt modifiés
La durée modifiée pourrait être prolongée pour calculer le nombre d'années qu'il faudrait à un swap de taux d'intérêt pour rembourser le prix payé pour le swap. Un swap de taux d'intérêt est l'échange d'un ensemble de flux de trésorerie contre un autre et est basé sur des spécifications de taux d'intérêt entre les parties.
La durée modifiée est calculée en divisant la valeur en dollars d'une variation d'un point de base d'un segment de swap de taux d'intérêt, ou série de flux de trésorerie, par la valeur actuelle de la série de flux de trésorerie. La valeur est ensuite multipliée par 10 000. La durée modifiée de chaque série de flux de trésorerie peut également être calculée en divisant la valeur en dollars d'un changement de point de base de la série de flux de trésorerie par la valeur notionnelle plus la valeur de marché. La fraction est ensuite multipliée par 10 000.
La durée modifiée des deux branches doit être calculée pour calculer la durée modifiée du swap de taux d'intérêt. La différence entre les deux durées modifiées est la durée modifiée du swap de taux d'intérêt. La formule pour la durée modifiée du swap de taux d'intérêt est la durée modifiée de la jambe réceptrice moins la durée modifiée de la jambe payante.
Par exemple, supposons que la banque A et la banque B concluent un swap de taux d'intérêt. La durée modifiée de la jambe de réception d'un swap est calculée comme neuf ans et la durée modifiée de la jambe payante est calculée comme cinq ans. La durée modifiée du swap de taux d'intérêt qui en résulte est de quatre ans (9 ans - 5 ans).
Comparaison de la durée de Macaulay et de la durée modifiée
Étant donné que la durée Macaulay mesure le temps moyen pondéré qu'un investisseur doit détenir une obligation jusqu'à ce que la valeur actuelle des flux de trésorerie de l'obligation soit égale au montant payé pour l'obligation, elle est souvent utilisée par les gestionnaires d'obligations qui cherchent à gérer le risque du portefeuille obligataire avec des stratégies de vaccination..
En revanche, la duration modifiée identifie dans quelle mesure la duration change pour chaque variation en pourcentage du rendement tout en mesurant dans quelle mesure une variation des taux d'intérêt a une incidence sur le prix d'une obligation. Ainsi, la duration modifiée peut fournir une mesure du risque aux investisseurs obligataires en estimant dans quelle mesure le prix d'une obligation pourrait baisser avec une augmentation des taux d'intérêt. Il est important de noter que les prix des obligations et les taux d'intérêt ont une relation inverse les uns avec les autres.
