L'évaluation des options peut être une entreprise délicate. Considérez le scénario suivant: En janvier 2015, l'action IBM se négociait à 155 $ et vous vous attendiez à ce qu'elle augmente au cours de la prochaine année. Vous avez l'intention d'acheter une option d'achat sur l'action IBM avec un prix d'exercice ATM de 155 $, en espérant bénéficier de rendements en pourcentage élevés, basés sur un faible coût d'option (prime d'option), par rapport à l'achat d'actions avec un prix d'achat élevé.
Quelle devrait être la juste valeur de cette option d'achat sur IBM?
Aujourd'hui, deux méthodes prêtes à l'emploi différentes sont disponibles pour évaluer les options, y compris le modèle Black-Scholes et le modèle d'arbre binomial, qui peuvent fournir des réponses rapides. Mais quels sont les facteurs sous-jacents et les concepts moteurs pour arriver à de tels modèles d'évaluation? Peut-on préparer quelque chose de similaire, basé sur le concept de ces modèles?
Ici, nous couvrons les blocs de construction, les concepts sous-jacents et les facteurs qui peuvent être utilisés comme cadre pour construire un modèle d'évaluation pour un actif tel que des options, fournissant une comparaison côte à côte avec les origines des Black-Scholes (BS) modèle.
Le monde avant Black-Scholes
Avant Black-Scholes, le modèle d'équilibre des prix des immobilisations (CAPM) basé sur l'équilibre était largement suivi. Les rendements et les risques ont été équilibrés les uns avec les autres, en fonction de la préférence de l'investisseur, c'est-à-dire qu'un investisseur à haut risque devait être compensé par (le potentiel de) des rendements plus élevés dans une proportion similaire.
Le modèle BS trouve ses racines dans le CAPM. Selon Fisher Black: «J'ai appliqué le modèle de fixation des prix des immobilisations à chaque instant de la vie d'un mandat, pour chaque cours de bourse et valeur de mandat possible.» Malheureusement, le CAPM n'a pas été en mesure de satisfaire à l'exigence de tarification (option).
Black-Scholes reste le premier modèle, basé sur le concept d'arbitrage, faisant un changement de paradigme des modèles basés sur le risque (comme le CAPM). Ce nouveau développement de modèle BS a remplacé le concept de rendement des actions CAPM par la reconnaissance du fait qu'une position parfaitement couverte bénéficiera d'un taux sans risque. Cela a supprimé les variations de risque et de rendement et a établi le concept d'arbitrage dans lequel les évaluations sont effectuées sur des hypothèses de concept neutre au risque - une position couverte (sans risque) devrait conduire à un taux de rendement sans risque.
Le développement des Black-Scholes
Commençons par établir le problème, le quantifier et développer un cadre pour sa solution. Nous continuons avec notre exemple sur l'évaluation de l'option d'achat ATM sur IBM avec un prix d'exercice de 155 $ avec un an à expiration.
Sur la base de la définition de base d'une option d'achat, à moins que le cours de l'action n'atteigne le niveau du prix d'exercice, le gain reste nul. Après ce niveau, le gain augmente de façon linéaire (c.-à-d., Une augmentation d'un dollar du sous-jacent fournira un gain d'un dollar de l'option d'achat).
En supposant que l'acheteur et le vendeur conviennent d'une évaluation juste (y compris le prix zéro), le juste prix théorique de cette option d'achat sera:
- Prix de l'option d'achat = 0 $, si sous-jacent <grève (graphique rouge) Prix de l'option d'achat = (sous-jacent - grève), si sous-jacent> = grève (graphique bleu)
Cela représente la valeur intrinsèque de l'option et semble parfait du point de vue de l'acheteur d'une option d'achat. Dans la région rouge, l'acheteur et le vendeur ont tous deux une évaluation juste (prix zéro pour le vendeur, zéro paiement pour l'acheteur). Cependant, le défi de la valorisation commence avec la région bleue, car l'acheteur a l'avantage d'un gain positif, tandis que le vendeur subit une perte (à condition que le prix sous-jacent dépasse le prix d'exercice). C'est là que l'acheteur a un avantage sur le vendeur avec un prix nul. Le prix doit être non nul pour compenser le vendeur pour le risque qu'il prend.
Dans le premier cas (graphique rouge), théoriquement, le prix zéro est reçu par le vendeur et il n'y a aucun potentiel de gain pour l'acheteur (juste pour les deux). Dans ce dernier cas (graphique bleu), le différentiel entre le sous-jacent et la grève doit être payé par le vendeur à l'acheteur. Le risque du vendeur s'étend sur la durée d'une année entière. Par exemple, le cours de l'action sous-jacente peut évoluer très haut (disons à 200 $ en quatre mois) et le vendeur est tenu de payer à l'acheteur le différentiel de 45 $.
Ainsi, cela se résume à:
- Le prix du sous-jacent traversera-t-il le prix d'exercice? Dans l'affirmative, à quelle hauteur le prix sous-jacent peut-il aller (car cela déterminera le paiement à l'acheteur)?
Cela indique le gros risque pris par le vendeur, ce qui conduit à la question: pourquoi quelqu'un vendrait-il un tel appel s'il n'obtient rien pour le risque qu'il prend?
Notre objectif est d'arriver à un prix unique que le vendeur devrait facturer à l'acheteur, ce qui peut le compenser pour le risque global qu'il prend sur un an - à la fois dans la région de paiement zéro (rouge) et dans la région de paiement linéaire (bleu). Le prix doit être juste et acceptable pour l'acheteur et le vendeur. Sinon, celui qui est désavantagé en termes de paiement ou de réception d'un prix injuste ne participera pas au marché, ce qui irait à l'encontre de l'objectif de l'activité commerciale. Le modèle de Black-Scholes vise à établir ce juste prix en considérant la variation constante du prix de l'action, la valeur temps de l'argent, le prix d'exercice de l'option et le délai d'expiration de l'option. Semblable au modèle BS, voyons comment nous pouvons approcher pour évaluer cela pour notre exemple en utilisant nos propres méthodes.
Comment évaluer la valeur intrinsèque dans la région bleue?
Deux méthodes sont disponibles pour prédire le mouvement de prix attendu dans le futur au cours d'une période donnée:
- On peut analyser des mouvements de prix similaires de même durée dans un passé récent. Le cours de clôture historique d'IBM indique qu'au cours de la dernière année (du 2 janvier 2014 au 31 décembre 2014), le prix a chuté à 160, 44 $, contre 185, 53 $, une baisse de 13, 5%. Pouvons-nous conclure une variation de prix de -13, 5% pour IBM? Une vérification détaillée supplémentaire indique qu'elle a atteint un sommet annuel de 199, 21 $ (le 10 avril 2014) et un creux annuel de 150, 5 $ (le 16 décembre 2014). En se basant sur le jour de départ, le 2 janvier 2014, et sur le cours de clôture de 185, 53 $, la variation en pourcentage varie de + 7, 37% à -18, 88%. Maintenant, la plage de variation semble beaucoup plus large par rapport à la baisse calculée précédemment de 13, 5%.
Des analyses et observations similaires sur les données historiques peuvent être effectuées. Pour poursuivre le développement de notre modèle de tarification, supposons cette méthodologie simple pour évaluer les futures variations de prix.
Supposons qu'IBM augmente de 10% chaque année (sur la base des données historiques des 20 dernières années). Les statistiques de base indiquent que la probabilité de variation du prix des actions IBM oscillant autour de + 10% sera beaucoup plus élevée que la probabilité que le prix IBM augmente de 20% ou diminue de 30%, en supposant que les tendances historiques se répètent. En collectant des points de données historiques similaires avec des valeurs de probabilité, un rendement global attendu du cours des actions IBM dans un délai d'un an peut être calculé comme une moyenne pondérée des probabilités et des rendements associés. Par exemple, supposons que les données de prix historiques d'IBM indiquent les mouvements suivants:
- (-10%) en 25% des fois, + 10% en 35% des fois, + 15% en 20% des fois, + 20% en 10% de fois, + 25% en 5% de fois et (-15%) en 5% de fois.
Par conséquent, la moyenne pondérée (ou la valeur attendue) correspond à:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6, 5%
C'est-à-dire qu'en moyenne, le prix de l'action IBM devrait revenir de + 6, 5% en un an pour chaque dollar. Si quelqu'un achète l'action IBM avec un horizon d'un an et un prix d'achat de 155 $, on peut s'attendre à un rendement net de 155 * 6, 5% = 10, 075 $.
Cependant, c'est pour le retour des actions. Nous devons rechercher des rendements attendus similaires pour l'option d'achat.
Sur la base d'un gain nul de l'appel en dessous du prix d'exercice (155 $ - appel ATM existant), tous les mouvements négatifs ne généreront aucun gain, tandis que tous les mouvements positifs au-dessus du prix d'exercice généreront un gain équivalent. Le rendement attendu de l'option d'achat sera donc:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9, 75%
Autrement dit, pour chaque tranche de 100 $ investie dans l'achat de cette option, on peut s'attendre à 9, 75 $ (sur la base des hypothèses ci-dessus).
Cependant, cela reste limité à la juste évaluation du montant intrinsèque de l'option et ne saisit pas correctement le risque supporté par le vendeur d'option pour les fortes fluctuations qui peuvent survenir entre-temps (dans le cas des intrayear haut et bas mentionnés ci-dessus). des prix). En plus de la valeur intrinsèque, quel prix peut être convenu entre l'acheteur et le vendeur, afin que le vendeur soit équitablement compensé pour le risque qu'il prend sur la période d'un an?
Ces fluctuations peuvent varier considérablement et le vendeur peut avoir sa propre interprétation de combien il souhaite être rémunéré pour cela. Le modèle Black-Scholes suppose des options de type européen, c'est-à-dire aucun exercice avant la date d'expiration. Ainsi, il n'est pas affecté par les fluctuations de prix intermédiaires et fonde son évaluation sur des jours de bourse de bout en bout.
Dans le day trading réel, cette volatilité joue un rôle important dans la détermination des prix des options. La fonction de paiement bleue que nous voyons généralement est en fait le paiement à la date d'expiration. De manière réaliste, le prix de l'option (graphique rose) est toujours supérieur au gain (graphique bleu), indiquant le prix pris par le vendeur pour compenser ses capacités de prise de risque. C'est pourquoi le prix de l'option est également connu sous le nom d'option «prime» - indiquant essentiellement la prime de risque.
Cela peut être inclus dans notre modèle d'évaluation, en fonction de la volatilité attendue du cours de l'action et de la valeur attendue qui en résulterait.
Le modèle Black-Scholes le fait efficacement (dans ses propres hypothèses bien sûr) comme suit:
La C = S × N (d1) −X × e − rTN (d2)
Le modèle BS suppose une distribution log-normale des mouvements des cours boursiers, ce qui justifie l'utilisation de N (d1) et N (d2).
- Dans la première partie, S indique le prix actuel du stock. N (d1) indique la probabilité du mouvement actuel du prix du stock.
Si cette option devient in-the-money permettant à l'acheteur d'exercer cette option, il obtiendra une part des actions IBM sous-jacentes. Si le trader l'exerce aujourd'hui, alors le S * N (d1) représente la valeur actuelle attendue de l'option.
Dans la deuxième partie, X indique le prix d'exercice.
- N (d2) représente la probabilité que le cours de l'action soit supérieur au prix d'exercice. Donc X * N (d2) représente la valeur attendue du cours de l'action restant au - dessus du prix d'exercice.
Comme le modèle Black-Scholes suppose des options de style européen dans lesquelles l'exercice n'est possible qu'à la fin, la valeur attendue représentée ci-dessus par X * N (d2) doit être actualisée pour la valeur temps de l'argent. Par conséquent, la dernière partie est multipliée par un terme exponentiel élevé au taux d'intérêt sur la période.
La différence nette des deux termes indique la valeur de prix de l'option à partir d'aujourd'hui (où le deuxième terme est actualisé)
Dans notre cadre, ces mouvements de prix peuvent être plus précisément inclus de plusieurs manières:
- Affinement supplémentaire des calculs de rendement attendu en élargissant la fourchette à des intervalles plus fins pour inclure les mouvements de prix intrajournaliers / intrarearmes Inclusion des données de marché actuelles, car elles reflètent l'activité actuelle (similaire à la volatilité implicite) Rendements attendus à la date d'expiration, qui peuvent être actualisé à nos jours pour des évaluations réalistes et encore réduit de la valeur actuelle
Ainsi, nous voyons qu'il n'y a pas de limite aux hypothèses, méthodologies et personnalisation à sélectionner pour l'analyse quantitative. En fonction de l'actif à échanger ou de l'investissement à considérer, un modèle auto-développé peut être élaboré. Il est important de noter que la volatilité des mouvements de prix des différentes classes d'actifs varie beaucoup (les actions présentent un biais de volatilité, le forex a un froncement de sourcils de volatilité) et les utilisateurs doivent intégrer les modèles de volatilité applicables dans leurs modèles. Les hypothèses et les inconvénients font partie intégrante de tout modèle et l'application bien informée des modèles dans les scénarios de négociation du monde réel peut donner de meilleurs résultats.
The Bottom Line
Avec des actifs complexes entrant sur les marchés ou même des actifs de vanille simples entrant dans des formes complexes de trading, la modélisation et l'analyse quantitatives deviennent obligatoires pour l'évaluation. Malheureusement, aucun modèle mathématique n'est livré sans un ensemble d'inconvénients et d'hypothèses. La meilleure approche consiste à garder les hypothèses au minimum et à être conscient des inconvénients implicites, ce qui peut aider à tracer les lignes sur l'utilisation et l'applicabilité des modèles.
