Qu'est-ce que le théorème de Bayes?
Le théorème de Bayes, nommé d'après le mathématicien britannique du XVIIIe siècle Thomas Bayes, est une formule mathématique pour déterminer la probabilité conditionnelle. Le théorème fournit un moyen de réviser les prédictions ou théories existantes (mettre à jour les probabilités) en fonction de preuves nouvelles ou supplémentaires. En finance, le théorème de Bayes peut être utilisé pour évaluer le risque de prêter de l'argent à des emprunteurs potentiels.
Le théorème de Bayes est également appelé règle de Bayes ou loi de Bayes et constitue le fondement du domaine des statistiques bayésiennes.
Points clés à retenir
- Le théorème de Bayes vous permet de mettre à jour les probabilités prédites d'un événement en incorporant de nouvelles informations.Le théorème de Bayes a été nommé d'après le mathématicien du XVIIIe siècle Thomas Bayes.Il est souvent employé en finance pour mettre à jour l'évaluation des risques.
La formule du théorème de Bayes est
La P (A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) où: P (A) = La probabilité d'occurrence de A P (B) = La probabilité que B se produiseP (A∣B) = La probabilité que A donne BP (B∣A) = La probabilité que B donne AP (A⋂B)) = La probabilité que A et B se produisent
Le théorème de Bayes expliqué
Les applications du théorème sont répandues et ne se limitent pas au domaine financier. À titre d'exemple, le théorème de Bayes peut être utilisé pour déterminer l'exactitude des résultats des tests médicaux en tenant compte de la probabilité qu'une personne donnée soit atteinte d'une maladie et de l'exactitude générale du test. Le théorème de Bayes repose sur l'incorporation de distributions de probabilités antérieures afin de générer des probabilités postérieures. La probabilité antérieure, dans l'inférence statistique bayésienne, est la probabilité d'un événement avant que de nouvelles données ne soient collectées. Il s'agit de la meilleure évaluation rationnelle de la probabilité d'un résultat sur la base des connaissances actuelles avant qu'une expérience ne soit effectuée. La probabilité postérieure est la probabilité révisée qu'un événement se produise après avoir pris en compte de nouvelles informations. La probabilité postérieure est calculée en mettant à jour la probabilité antérieure en utilisant le théorème de Bayes. En termes statistiques, la probabilité postérieure est la probabilité que l'événement A se produise étant donné que l'événement B s'est produit.
Le théorème de Bayes donne ainsi la probabilité d'un événement basé sur de nouvelles informations qui sont ou peuvent être liées à cet événement. La formule peut également être utilisée pour voir comment la probabilité qu'un événement se produise est affectée par de nouvelles informations hypothétiques, en supposant que les nouvelles informations se révéleront vraies. Par exemple, supposons qu'une seule carte soit tirée d'un jeu complet de 52 cartes. La probabilité que la carte soit un roi est de 4 divisée par 52, ce qui équivaut à 1/13 ou environ 7, 69%. N'oubliez pas qu'il y a 4 rois dans le jeu. Supposons maintenant qu'il soit révélé que la carte sélectionnée est une carte face. La probabilité que la carte sélectionnée soit un roi, étant donné qu'il s'agit d'une carte face, est de 4 divisée par 12, soit environ 33, 3%, car il y a 12 cartes face dans un jeu.
Dériver la formule du théorème de Bayes avec un exemple
Le théorème de Bayes découle simplement des axiomes de probabilité conditionnelle. La probabilité conditionnelle est la probabilité d'un événement étant donné qu'un autre événement s'est produit. Par exemple, une simple question de probabilité peut demander: "Quelle est la probabilité de chute du cours de l'action d'Amazon.com, Inc. (NYSE: AMZN)?" La probabilité conditionnelle pousse cette question un peu plus loin en demandant: "Quelle est la probabilité de baisse du cours de l'action AMZN étant donné que l'indice Dow Jones Industrial Average (DJIA) a chuté plus tôt?"
La probabilité conditionnelle de A étant donné que B s'est produit peut être exprimée comme suit:
Si A est: "Le prix AMZN baisse" alors P (AMZN) est la probabilité que AMZN chute; et B est: "DJIA est déjà en panne", et P (DJIA) est la probabilité que le DJIA tombe; alors l'expression de probabilité conditionnelle se lit comme "la probabilité que AMZN baisse en raison d'une baisse de DJIA est égale à la probabilité que le prix d'AMZN baisse et que DJIA baisse sur la probabilité d'une diminution de l'indice DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN et DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN et DJIA) est la probabilité que A et B se produisent. Il s'agit également de la probabilité que A se produise multipliée par la probabilité que B se produise étant donné que A se produit, exprimé en P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Le fait que ces deux expressions soient égales conduit au théorème de Bayes, qui s'écrit:
si, P (AMZN et DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
puis, P (AMZN | DJIA) = / P (DJIA).
Où P (AMZN) et P (DJIA) sont les probabilités de chute d'Amazon et du Dow Jones, sans égard l'un à l'autre.
La formule explique la relation entre la probabilité de l'hypothèse avant de voir la preuve que P (AMZN) et la probabilité de l'hypothèse après avoir obtenu la preuve P (AMZN | DJIA), étant donné une hypothèse pour Amazon donnée par le Dow.
Exemple numérique du théorème de Bayes
À titre d'exemple numérique, imaginez qu'il existe un test de dépistage de la drogue qui est précis à 98%, ce qui signifie que 98% du temps, il montre un vrai résultat positif pour une personne qui utilise le médicament et 98% du temps, il montre un vrai résultat négatif pour les non-utilisateurs du drogue. Supposons ensuite que 0, 5% des personnes consomment le médicament. Si une personne sélectionnée au hasard a des résultats positifs pour le médicament, le calcul suivant peut être effectué pour voir si la probabilité que la personne soit réellement un utilisateur du médicament.
(0, 98 x 0, 005) / = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Le théorème de Bayes montre que même si une personne est testée positive dans ce scénario, il est en fait beaucoup plus probable qu'elle ne consomme pas de drogue.
