Définition du modèle Scholes noir

Table des matières

Qu'est-ce que le modèle Black Scholes?
Les bases du modèle BSM
La formule Black Scholes
Que vous dit le modèle?
Limites

Qu'est-ce que le modèle Black Scholes?

Le modèle Black Scholes, également connu sous le nom de modèle Black-Scholes-Merton (BSM), est un modèle mathématique pour la tarification d'un contrat d'options. En particulier, le modèle estime la variation dans le temps des instruments financiers tels que les actions, et en utilisant la volatilité implicite de l'actif sous-jacent dérive le prix d'une option d'achat.

Points clés à retenir

Le modèle Black-Scholes Merton (BSM) est une équation différentielle utilisée pour résoudre les prix des options.Le modèle a remporté le prix Nobel d'économie.Le modèle BSM standard n'est utilisé que pour évaluer les options européennes et ne tient pas compte du fait que les options américaines pourraient être exercé avant la date d'expiration.

Les bases du modèle Black Scholes

Le modèle suppose que le prix des actifs fortement négociés suit un mouvement brownien géométrique avec une dérive et une volatilité constantes. Lorsqu'il est appliqué à une option d'achat d'actions, le modèle incorpore la variation constante du prix de l'action, la valeur temps de l'argent, le prix d'exercice de l'option et le délai d'expiration de l'option.

Également appelé Black-Scholes-Merton, c'était le premier modèle largement utilisé pour la tarification des options. Il est utilisé pour calculer la valeur théorique des options en utilisant les cours des actions actuels, les dividendes attendus, le prix d'exercice de l'option, les taux d'intérêt prévus, le délai d'expiration et la volatilité attendue.

La formule, développée par trois économistes - Fischer Black, Myron Scholes et Robert Merton - est peut-être le modèle de tarification des options le plus connu au monde. Il a été présenté dans leur article de 1973, «The Pricing of Options and Corporate Liabilities», publié dans le Journal of Political Economy . Black est décédé deux ans avant que Scholes et Merton se voient décerner le prix Nobel d'économie 1997 pour leur travail dans la recherche d'une nouvelle méthode pour déterminer la valeur des dérivés (le prix Nobel n'est pas décerné à titre posthume; cependant, le comité Nobel a reconnu le rôle de Black dans la Modèle Black-Scholes).

Le modèle Black-Scholes fait certaines hypothèses:

L'option est européenne et ne peut être exercée qu'à l'échéance.Aucun dividende n'est versé pendant la durée de l'option.Les marchés sont efficaces (c'est-à-dire que les mouvements du marché ne peuvent être prédits).L'achat de l'option ne comporte aucun coût de transaction. le taux libre et la volatilité du sous-jacent sont connus et constants. Les rendements du sous-jacent sont normalement distribués.

Alors que le modèle Black-Scholes d'origine ne tenait pas compte des effets des dividendes versés pendant la durée de l'option, le modèle est fréquemment adapté pour tenir compte des dividendes en déterminant la valeur à la date ex-dividende du titre sous-jacent.

La formule Black Scholes

Les mathématiques impliquées dans la formule sont compliquées et peuvent être intimidantes. Heureusement, vous n'avez pas besoin de connaître ou même de comprendre les mathématiques pour utiliser la modélisation Black-Scholes dans vos propres stratégies. Les traders d'options ont accès à une variété de calculateurs d'options en ligne, et la plupart des plateformes de trading d'aujourd'hui disposent d'outils d'analyse d'options robustes, y compris des indicateurs et des feuilles de calcul qui effectuent les calculs et produisent les valeurs de tarification des options.

La formule de l'option d'achat Black Scholes est calculée en multipliant le cours de l'action par la fonction de distribution de probabilité normale standard cumulative. Par la suite, la valeur actuelle nette (VAN) du prix d'exercice multipliée par la distribution normale standard cumulative est soustraite de la valeur résultante du calcul précédent.

En notation mathématique:

La $\begin{matrix} C = S_{t} N ({ré}_{1}) - K e^{- r t} N ({ré}_{2}) \\ où: \\ {ré}_{1} = \frac{l n \frac{S_{t}}{K} + (r + \frac{σ_{v}^{2}}{2}) t}{σ_{s} \sqrt{t}} \\ et \\ {ré}_{2} = {ré}_{1} - σ_{s} \sqrt{t} \\ où: \\ C = Prix de l'option d'achat \\ S = Cours actuel (ou autre prix sous-jacent) \\ K = Prix d'exercice \\ r = Taux d'intérêt sans risque \\ t = Délai de maturité \\ N = Une distribution normale \end{matrix} \ begin {aligné} & C = S_t N (d _1) - K e ^ {- rt} N (d _2) \ & \ textbf {où:} \ & d_1 = \ frac {ln \ frac {S_t} {K } + (r + \ frac { sigma ^ {2} _v} {2}) t} { sigma_s \ \ sqrt {t}} \ & \ text {et} \ & d_2 = d _1 - \ sigma_s \ \ sqrt {t} \ & \ textbf {où:} \ & C = \ text {prix de l'option d'achat} \ & S = \ text {prix du stock actuel (ou autre sous-jacent)} \ & K = \ text {prix d'exercice } \ & r = \ text {Taux d'intérêt sans risque} \ & t = \ text {Délai de maturité} \ & N = \ text {Une distribution normale} \ \ end {aligné}$ C = St N (d1) −Ke − rtN (d2) où: d1 = σs t lnKSt + (r + 2σv2) t etd2 = d1 −σs t où: C = prix de l'option d'achat S = prix actuel de l'action (ou autre sous-jacent) K = prix d'exercice = taux d'intérêt sans risque = délai jusqu'à l'échéance N = distribution normale

Modèle Black-Scholes

Que vous dit le modèle Black Scholes?

Le modèle Black Scholes est l'un des concepts les plus importants de la théorie financière moderne. Il a été développé en 1973 par Fischer Black, Robert Merton et Myron Scholes et est encore largement utilisé aujourd'hui. Il est considéré comme l'un des meilleurs moyens de déterminer le juste prix des options. Le modèle Black Scholes requiert cinq variables d'entrée: le prix d'exercice d'une option, le prix actuel de l'action, le délai d'expiration, le taux sans risque et la volatilité.

Le modèle suppose que les cours des actions suivent une distribution log-normale car les prix des actifs ne peuvent pas être négatifs (ils sont limités par zéro). Ceci est également connu comme une distribution gaussienne. Souvent, les prix des actifs présentent une asymétrie droite importante et un certain degré de kurtosis (queues grasses). Cela signifie que les mouvements à la baisse à haut risque se produisent souvent plus souvent sur le marché que ne le prévoit une distribution normale.

L'hypothèse de prix des actifs sous-jacents lognormaux devrait donc montrer que les volatilités implicites sont similaires pour chaque prix d'exercice selon le modèle Black-Scholes. Cependant, depuis le krach boursier de 1987, les volatilités implicites pour les options monétaires ont été inférieures à celles plus éloignées de la monnaie ou loin dans la monnaie. La raison de ce phénomène est que le marché prévoit une plus grande probabilité d'une forte volatilité vers le bas sur les marchés.

Cela a conduit à la présence du biais de volatilité. Lorsque les volatilités implicites pour les options ayant la même date d'expiration sont cartographiées sur un graphique, une forme de sourire ou de biais peut être observée. Ainsi, le modèle Black-Scholes n'est pas efficace pour calculer la volatilité implicite.

Limites du modèle Black Scholes

Comme indiqué précédemment, le modèle Black Scholes n'est utilisé que pour évaluer les options européennes et ne tient pas compte du fait que les options américaines pourraient être exercées avant la date d'expiration. De plus, le modèle suppose que les dividendes et les taux sans risque sont constants, mais cela peut ne pas être vrai en réalité. Le modèle suppose également que la volatilité reste constante pendant la durée de vie de l'option, ce qui n'est pas le cas, car la volatilité fluctue avec le niveau de l'offre et de la demande.

De plus, le modèle suppose qu'il n'y a ni frais de transaction ni taxes; que le taux d'intérêt sans risque est constant pour toutes les échéances; que la vente à découvert de titres avec utilisation du produit est autorisée; et qu'il n'y a pas d'opportunités d'arbitrage sans risque. Ces hypothèses peuvent conduire à des prix qui s'écartent du monde réel où ces facteurs sont présents.

Table des matières: