Définition d'une relation linéaire

Qu'est-ce qu'une relation linéaire?

Une relation linéaire (ou association linéaire) est un terme statistique utilisé pour décrire une relation linéaire entre une variable et une constante. Les relations linéaires peuvent être exprimées soit dans un format graphique où la variable et la constante sont connectées via une ligne droite, soit dans un format mathématique où la variable indépendante est multipliée par le coefficient de pente, ajouté par une constante, qui détermine la variable dépendante.

Une relation linéaire peut être contrastée avec une relation polynomiale ou non linéaire (courbe).

Points clés à retenir

Une relation linéaire (ou association linéaire) est un terme statistique utilisé pour décrire une relation linéaire entre une variable et une constante. Les relations linéaires peuvent être exprimées sous forme graphique ou sous forme d'équation mathématique de la forme y = mx + b Les relations linéaires sont assez courantes dans la vie quotidienne.

L'équation linéaire est:

Mathématiquement, une relation linéaire est celle qui satisfait l'équation:

La $\begin{matrix} y = m X + b \\ où: \\ m = pente \\ b = ordonnée à l'origine \end{matrix} \ begin {aligné} & y = mx + b \\ & \ textbf {où:} \ & m = \ text {pente} \ & b = \ text {y-intercept} \ \ end {aligné}$ Y = mx + b où: m = penteb = ordonnée à l'origine

Dans cette équation, «x» et «y» sont deux variables qui sont liées par les paramètres «m» et «b». Graphiquement, y = mx + b trace dans le plan xy comme une ligne avec la pente «m» et l'ordonnée à l'origine «b». L'ordonnée à l'origine «b» est simplement la valeur de «y» lorsque x = 0. La pente «m» est calculée à partir de deux points individuels (x ₁, y ₁) et (x ₂, y ₂) comme:

La $m = \frac{(y_{2} - y_{1})}{(X_{2} - X_{1})} m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)}$ m = (x2 −x1) (y2 −y1)

Relation linéaire

Que vous dit une relation linéaire?

Une équation doit respecter trois ensembles de critères nécessaires pour être considérée comme linéaire: une équation exprimant une relation linéaire ne peut pas comprendre plus de deux variables, toutes les variables d'une équation doivent être à la première puissance et l'équation doit représenter graphiquement une ligne droite.

Une fonction linéaire en mathématiques est une fonction qui satisfait aux propriétés d'additivité et d'homogénéité. Les fonctions linéaires observent également le principe de superposition, qui stipule que la sortie nette de deux ou plusieurs entrées est égale à la somme des sorties des entrées individuelles. Une relation linéaire couramment utilisée est une corrélation, qui décrit comment une variable change de façon linéaire en fonction des changements d'une autre variable.

En économétrie, la régression linéaire est une méthode souvent utilisée pour générer des relations linéaires pour expliquer divers phénomènes. Cependant, toutes les relations ne sont pas linéaires. Certaines données décrivent des relations courbes (telles que les relations polynomiales) tandis que d'autres données ne peuvent pas être paramétrées.

Fonctions linéaires

Mathématiquement similaire à une relation linéaire est le concept d'une fonction linéaire. Dans une variable, une fonction linéaire peut s'écrire comme suit:

La $\begin{matrix} F (X) = m X + b \\ où: \\ m = pente \\ b = ordonnée à l'origine \end{matrix} \ begin {aligné} & f (x) = mx + b \\ & \ textbf {où:} \ & m = \ text {pente} \ & b = \ text {y-intercept} \ \ end {aligné}$ F (x) = mx + b où: m = penteb = ordonnée à l'origine

Ceci est identique à la formule donnée pour une relation linéaire, sauf que le symbole f (x) est utilisé à la place de y. Cette substitution est faite pour mettre en évidence le sens que x est mappé sur f (x), alors que l'utilisation de y indique simplement que x et y sont deux quantités, liées par A et B.

Dans l'étude de l'algèbre linéaire, les propriétés des fonctions linéaires sont largement étudiées et rendues rigoureuses. Étant donné un scalaire C et deux vecteurs A et B de R ^N, la définition la plus générale d'une fonction linéaire indique que: $c \times F (UNE + B) = c \times F (UNE) + c \times F (B) c \ fois f (A + B) = c \ fois f (A) + c \ fois f (B)$ c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B)

Exemples de relations linéaires

Exemple 1

Les relations linéaires sont assez courantes dans la vie quotidienne. Prenons le concept de vitesse par exemple. La formule que nous utilisons pour calculer la vitesse est la suivante: le taux de vitesse est la distance parcourue dans le temps. Si quelqu'un dans une mini-fourgonnette blanche Chrysler Town and Country 2007 voyage entre Sacramento et Marysville en Californie, un tronçon de 41, 3 milles sur l'autoroute 99, et le voyage complet prend 40 minutes, elle voyagera juste en dessous de 60 mph.

Bien qu'il y ait plus de deux variables dans cette équation, c'est toujours une équation linéaire car l'une des variables sera toujours une constante (distance).

Exemple 2

Une relation linéaire peut également être trouvée dans l'équation distance = taux x temps. Étant donné que la distance est un nombre positif (dans la plupart des cas), cette relation linéaire serait exprimée dans le quadrant supérieur droit d'un graphique avec un axe X et Y.

Si un vélo fait pour deux voyageait à un taux de 30 miles par heure pendant 20 heures, le cycliste finirait par parcourir 600 miles. Représentée graphiquement avec la distance sur l'axe Y et le temps sur l'axe X, une ligne traçant la distance sur ces 20 heures se déplacerait directement à partir de la convergence des axes X et Y.

Exemple 3

Afin de convertir Celsius en Fahrenheit, ou Fahrenheit en Celsius, vous utiliseriez les équations ci-dessous. Ces équations expriment une relation linéaire sur un graphique:

La $° C = \frac{5}{9} (° F - 32) \ degree C = \ frac {5} {9} ( degree F - 32)$ ° C = 95 (° F − 32)

La $° F = \frac{9}{5} (° C + 32) \ degré F = \ frac {9} {5} ( degré C + 32)$ ° F = 59 (° C + 32)

Exemple 4

Supposons que la variable indépendante est la taille d'une maison (mesurée en pieds carrés) qui détermine le prix du marché d'une maison (la variable dépendante) lorsqu'elle est multipliée par le coefficient de pente de 207, 65 et est ensuite ajoutée au terme constant 10 500 $. Si la superficie en pieds carrés d'une maison est de 1 250, la valeur marchande de la maison est de (1 250 x 207, 65) + 10 500 $ = 270 062, 50 $. Graphiquement et mathématiquement, il se présente comme suit:

Dans cet exemple, à mesure que la taille de la maison augmente, la valeur marchande de la maison augmente de façon linéaire.

Certaines relations linéaires entre deux objets peuvent être appelées «constantes de proportionnalité». Cette relation apparaît comme

La $\begin{matrix} Oui = k \times X \\ où: \\ k = constant \\ Oui, X = quantités proportionnelles \end{matrix} \ begin {aligné} & Y = k \ fois X \\ & \ textbf {où:} \ & k = \ text {constant} \ & Y, X = \ text {quantités proportionnelles} \ \ end {aligné}$ Y = k × X où: k = constante Y, X = grandeurs proportionnelles

Lors de l'analyse des données comportementales, il existe rarement une relation linéaire parfaite entre les variables. Cependant, des lignes de tendance peuvent être trouvées dans les données qui forment une version approximative d'une relation linéaire. Par exemple, vous pouvez considérer la vente de glaces et le nombre de visites à l'hôpital comme les deux variables en jeu dans un graphique et trouver une relation linéaire entre les deux.

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