Déterminer les cours des actions
Il est difficile de s'entendre sur une tarification précise pour tout actif négociable, c'est pourquoi les cours des actions changent constamment. En réalité, les entreprises ne modifient pratiquement pas leurs évaluations au jour le jour, mais leurs cours boursiers et leurs évaluations changent presque toutes les secondes. Cette difficulté à parvenir à un consensus sur la tarification correcte de tout actif négociable conduit à des opportunités d'arbitrage de courte durée.
Mais beaucoup d'investissements réussis se résument à une simple question d'évaluation actuelle - quel est le bon prix actuel aujourd'hui pour un gain futur attendu?
Évaluation des options binominales
Dans un marché concurrentiel, pour éviter les opportunités d'arbitrage, les actifs ayant des structures de paiement identiques doivent avoir le même prix. La valorisation des options a été une tâche difficile et les variations de prix entraînent des opportunités d'arbitrage. Black-Scholes reste l'un des modèles les plus populaires utilisés pour les options de tarification mais présente des limites.
Le modèle de tarification des options binomiales est une autre méthode populaire utilisée pour les options de tarification.
Exemples
Supposons qu'il existe une option d'achat sur une action particulière avec un prix de marché actuel de 100 $. L'option à la monnaie (ATM) a un prix d'exercice de 100 $ avec un délai d'expiration d'un an. Il y a deux commerçants, Peter et Paula, qui conviennent tous deux que le cours de l'action augmentera à 110 $ ou tombera à 90 $ en un an.
Ils s'accordent sur les niveaux de prix attendus dans un laps de temps donné d'un an, mais ne sont pas d'accord sur la probabilité d'une hausse ou d'une baisse. Peter estime que la probabilité que le cours de l'action atteigne 110 $ est de 60%, tandis que Paula estime qu'elle est de 40%.
Sur cette base, qui serait prêt à payer plus cher pour l'option d'achat? Peut-être Peter, car il s'attend à une forte probabilité de remontée.
Calcul des options binominales
Les deux actifs, dont l'évaluation dépend, sont l'option d'achat et le stock sous-jacent. Les participants s'entendent pour dire que le cours de l'action sous-jacente peut passer de 100 $ actuellement à 110 $ ou 90 $ en un an et qu'il n'y a aucun autre mouvement de prix possible.
Dans un monde sans arbitrage, si vous devez créer un portefeuille composé de ces deux actifs, option d'achat et actions sous-jacentes, de sorte que, peu importe où va le prix sous-jacent - 110 $ ou 90 $ - le rendement net du portefeuille reste toujours le même. Supposons que vous achetiez des actions «d» d'options d'achat sous-jacentes et courtes pour créer ce portefeuille.
Si le prix passe à 110 $, vos actions valent 110 $ * j et vous perdrez 10 $ sur le gain de court appel. La valeur nette de votre portefeuille sera (110d - 10).
Si le prix descend à 90 $, vos actions auront une valeur de 90 $ * j et l'option expirera sans valeur. La valeur nette de votre portefeuille sera de (90d).
La H (d) −m = l (d) où: h = Prix sous-jacent potentiel le plus élevé = Nombre d'actions sous-jacentesm = Argent perdu lors de la vente à court termel = Prix sous-jacent potentiel le plus bas
Donc, si vous achetez une demi-action, en supposant que des achats fractionnés sont possibles, vous parviendrez à créer un portefeuille afin que sa valeur reste la même dans les deux états possibles dans le délai imparti d'un an.
La 110d − 10 = 90dd = 21
Cette valeur de portefeuille, indiquée par (90d) ou (110d - 10) = 45, est d'un an plus tard. Pour calculer sa valeur actuelle, il peut être actualisé par le taux de rendement sans risque (en supposant 5%).
La Valeur actuelle = 90d × e (−5% × 1 an) = 45 × 0, 9523 = 42, 85
Puisqu'à l'heure actuelle, le portefeuille est composé de ½ part des actions sous-jacentes (avec un prix de marché de 100 $) et d'un court appel, il devrait être égal à la valeur actuelle.
La 21 × 100−1 × Prix d'appel = 42, 85 $ Prix d'appel = 7, 14 $, soit le prix d'appel d'aujourd'hui
Étant donné que cela est basé sur l'hypothèse que la valeur du portefeuille reste la même quelle que soit l'orientation du prix sous-jacent, la probabilité d'un mouvement à la hausse ou à la baisse ne joue aucun rôle. Le portefeuille reste sans risque quelles que soient les variations de prix sous-jacentes.
Dans les deux cas (supposé monter à 110 $ et baisser à 90 $), votre portefeuille est neutre au risque et gagne le taux de rendement sans risque.
Par conséquent, les deux commerçants, Peter et Paula, seraient prêts à payer le même 7, 14 $ pour cette option d'achat, malgré leurs perceptions différentes des probabilités de mouvements à la hausse (60% et 40%). Leurs probabilités perçues individuellement n'ont pas d'importance dans l'évaluation des options.
En supposant plutôt que les probabilités individuelles importent, des opportunités d'arbitrage peuvent s'être présentées. Dans le monde réel, de telles opportunités d'arbitrage existent avec des écarts de prix mineurs et disparaissent à court terme.
Mais où est la volatilité très médiatisée dans tous ces calculs, un facteur important et sensible qui affecte le prix des options?
La volatilité est déjà incluse par la nature de la définition du problème. En supposant deux (et seulement deux - d'où le nom «binôme») des niveaux de prix (110 $ et 90 $), la volatilité est implicite dans cette hypothèse et incluse automatiquement (10% dans les deux cas dans cet exemple).
Black-Scholes
Mais cette approche est-elle correcte et cohérente avec la tarification Black-Scholes couramment utilisée? Les résultats du calculateur d'options (gracieuseté de l'OCI) correspondent étroitement à la valeur calculée:
Malheureusement, le monde réel n'est pas aussi simple que «seulement deux États». Le stock peut atteindre plusieurs niveaux de prix avant la date d'expiration.
Est-il possible d'inclure tous ces niveaux multiples dans un modèle de tarification binomiale limité à seulement deux niveaux? Oui, c'est tout à fait possible, mais pour comprendre cela prend quelques mathématiques simples.
Maths simples
Pour généraliser ce problème et cette solution:
"X" est le prix du marché actuel d'un stock et "X * u" et "X * d" sont les prix futurs des mouvements de hausse et de baisse "t" des années plus tard. Le facteur "u" sera supérieur à un car il indique un mouvement vers le haut et "d" se situera entre zéro et un. Pour l'exemple ci-dessus, u = 1, 1 et d = 0, 9.
Les gains de l'option d'achat sont "P up " et "P dn " pour les mouvements de montée et de descente au moment de l'expiration.
La VUM = s × X × u − Pup où: VUM = Valeur du portefeuille en cas de mouvement haussier
La VDM = s × X × d − Pdown où: VDM = Valeur du portefeuille en cas de baisse
Pour une valorisation similaire dans les deux cas de mouvement de prix:
La s × X × u − Pup = s × X × d − Pdown
La s = X × (u − d) Pup −Pdown = Le nombre d'actions à acheter = un portefeuille sans risque
La valeur future du portefeuille à la fin des "t" années sera:
La En cas de déplacement vers le haut = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup
La En cas de déplacement vers le bas = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown
La valeur actuelle peut être obtenue en l'actualisant avec le taux de rendement sans risque:
La PV = e (−rt) × où: PV = Valeur actuelle = Taux de rendementt = Temps, en années
Cela devrait correspondre à la détention de portefeuille des actions "s" au prix X, et la valeur d'achat courte "c" (la détention actuelle de (s * X - c) devrait correspondre à ce calcul.) La résolution de "c" lui donne finalement comme:
Remarque: Si la prime d'appel est court-circuitée, elle devrait être un ajout au portefeuille, pas une soustraction.
La c = u − de (−rt) ×
Une autre façon d'écrire l'équation est de la réorganiser:
Prendre "q" comme:
La q = u − de (−rt) −d
L'équation devient alors:
La c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)
Réorganiser l'équation en termes de «q» a offert une nouvelle perspective.
Maintenant, vous pouvez interpréter «q» comme la probabilité du mouvement ascendant du sous-jacent (comme «q» est associé à P up et «1-q» est associé à P dn). Globalement, l'équation représente le prix de l'option actuelle, la valeur actualisée de son gain à l'échéance.
Ce "Q" est différent
En quoi cette probabilité «q» est-elle différente de la probabilité d'un mouvement à la hausse ou à la baisse du sous-jacent?
La VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = Valeur du cours de l'action au moment t
En substituant la valeur de "q" et en réorganisant, le cours de l'action à l'instant "t" revient à:
La Cours de l'action = e (rt) × X
Dans ce monde supposé de deux États, le prix de l'action augmente simplement par le taux de rendement sans risque, exactement comme un actif sans risque, et reste donc indépendant de tout risque. Les investisseurs sont indifférents au risque dans ce modèle, ce qui constitue donc le modèle neutre au risque.
Les probabilités «q» et «(1-q)» sont appelées probabilités neutres au risque et la méthode d'évaluation est connue sous le nom de modèle d'évaluation neutre au risque.
Le scénario d'exemple a une exigence importante - la future structure de paiement est requise avec précision (niveau 110 $ et 90 $). Dans la vie réelle, une telle clarté sur les niveaux de prix par étapes n'est pas possible; le prix évolue plutôt de façon aléatoire et peut s'établir à plusieurs niveaux.
Pour développer davantage l'exemple, supposons que des niveaux de prix en deux étapes sont possibles. Nous connaissons les gains finaux de la deuxième étape et nous devons évaluer l'option aujourd'hui (à l'étape initiale):
En reculant, l'évaluation intermédiaire de première étape (à t = 1) peut être effectuée en utilisant les gains finaux à l'étape deux (t = 2), puis en utilisant ces évaluations calculées de première étape (t = 1), l'évaluation actuelle (t = 0) peut être atteint avec ces calculs.
Pour obtenir le prix de l'option au numéro deux, les gains à quatre et cinq sont utilisés. Pour obtenir le prix du numéro trois, les gains à cinq et six sont utilisés. Enfin, les gains calculés à deux et trois sont utilisés pour obtenir le prix au numéro un.
Veuillez noter que cet exemple suppose le même facteur pour les mouvements vers le haut (et vers le bas) aux deux étapes - u et d sont appliqués de manière composée.
Un exemple de travail
Supposons qu'une option de vente avec un prix d'exercice de 110 $ se négocie actuellement à 100 $ et expire dans un an. Le taux annuel sans risque est de 5%. Le prix devrait augmenter de 20% et diminuer de 15% tous les six mois.
Ici, u = 1, 2 et d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5
en utilisant la formule dérivée ci-dessus de
La q = u − de (−rt) −d
on obtient q = 0, 35802832
valeur de l'option de vente au point 2, La P2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) où: p = Prix de l'option de vente
À l'état de Pupup, le sous-jacent sera = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 $ conduisant à P upup = zéro
À l'état P updn, le sous-jacent sera = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 $ conduisant à P updn = 8 $
À l'état P dndn, le sous-jacent sera = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 $ conduisant à P dndn = 37, 75 $
p 2 = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741
De même, p 3 = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924
La p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)
Et donc la valeur de l'option de vente, p 1 = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 $.
De même, les modèles binomiaux vous permettent de fractionner toute la durée de l'option pour affiner davantage plusieurs étapes et niveaux. À l'aide de programmes informatiques ou de feuilles de calcul, vous pouvez reculer d'une étape à la fois pour obtenir la valeur actuelle de l'option souhaitée.
Un autre exemple
Supposons une option de vente de type européen avec une échéance de neuf mois, un prix d'exercice de 12 $ et un prix sous-jacent actuel à 10 $. Supposons un taux sans risque de 5% pour toutes les périodes. Supposons tous les trois mois, le prix sous-jacent peut augmenter ou diminuer de 20%, nous donnant u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 et un arbre binomial en trois étapes.
Le rouge indique les prix sous-jacents, tandis que le bleu indique le gain des options de vente.
La probabilité de risque neutre "q" est calculée à 0, 531446.
En utilisant la valeur ci-dessus de "q" et les valeurs de gain à t = neuf mois, les valeurs correspondantes à t = six mois sont calculées comme:
De plus, en utilisant ces valeurs calculées à t = 6, les valeurs à t = 3 puis à t = 0 sont:
Cela donne la valeur actuelle d'une option de vente à 2, 18 $, assez proche de ce que vous trouveriez en faisant les calculs en utilisant le modèle Black-Scholes (2, 30 $).
The Bottom Line
Bien que l'utilisation de programmes informatiques puisse faciliter ces calculs intensifs, la prévision des prix futurs reste une limitation majeure des modèles binomiaux pour la tarification des options. Plus les intervalles de temps sont fins, plus il est difficile de prévoir les gains à la fin de chaque période avec une précision de haut niveau.
Cependant, la flexibilité d'incorporer les changements attendus à différentes périodes est un plus, ce qui le rend approprié pour la tarification des options américaines, y compris les évaluations en début d'exercice.
Les valeurs calculées à l'aide du modèle binomial correspondent étroitement à celles calculées à partir d'autres modèles couramment utilisés comme Black-Scholes, ce qui indique l'utilité et la précision des modèles binomiaux pour la tarification des options. Les modèles de tarification binomiale peuvent être développés en fonction des préférences d'un commerçant et peuvent fonctionner comme une alternative aux Black-Scholes.
