Table des matières
- Distribution de probabilité de dessin
- Discret ou continu
- PDF vs distribution cumulative
- Distribution uniforme
- Distribution binomiale
- Distribution log-normale
- Poisson
- T de l'élève
- Distribution bêta
- The Bottom Line
Distribution de probabilité de dessin
Quelle que soit votre opinion sur la prévisibilité ou l'efficacité des marchés, vous conviendrez probablement que pour la plupart des actifs, les rendements garantis sont incertains ou risqués. Si nous ignorons les mathématiques qui sous-tendent les distributions de probabilité, nous pouvons voir que ce sont des images qui décrivent une vision particulière de l'incertitude. La distribution de probabilité est un calcul statistique qui décrit la probabilité qu'une variable donnée se situe entre ou dans une plage spécifique sur un graphique de tracé.
L'incertitude fait référence au hasard. C'est différent d'un manque de prévisibilité ou d'une inefficacité du marché. Selon une nouvelle étude, les marchés financiers sont à la fois incertains et prévisibles. De plus, les marchés peuvent être efficaces mais également incertains.
En finance, nous utilisons des distributions de probabilités pour dessiner des images qui illustrent notre vision de la sensibilité d'un rendement des actifs lorsque nous pensons que le rendement des actifs peut être considéré comme une variable aléatoire., nous allons passer en revue quelques-unes des distributions de probabilité les plus populaires et vous montrer comment les calculer.
Les distributions peuvent être classées comme discrètes ou continues et selon qu'il s'agit d'une fonction de densité de probabilité (PDF) ou d'une distribution cumulative.
Distributions discrètes ou continues
Discrète fait référence à une variable aléatoire tirée d'un ensemble fini de résultats possibles. Un dé à six faces, par exemple, a six résultats distincts. Une distribution continue fait référence à une variable aléatoire tirée d'un ensemble infini. Des exemples de variables aléatoires continues comprennent la vitesse, la distance et certains rendements des actifs. Une variable aléatoire discrète est illustrée généralement par des points ou des tirets, tandis qu'une variable continue est illustrée par une ligne continue. La figure ci-dessous montre des distributions discrètes et continues pour une distribution normale avec une moyenne (valeur attendue) de 50 et un écart-type de 10:
Image de Julie Bang © Investopedia 2020
La distribution est une tentative de cartographier l'incertitude. Dans ce cas, un résultat de 50 est le plus probable mais ne se produira qu'environ 4% du temps; un résultat de 40 est un écart-type inférieur à la moyenne et il se produira un peu moins de 2, 5% du temps.
Densité de probabilité vs distribution cumulative
L'autre distinction est entre la fonction de densité de probabilité (PDF) et la fonction de distribution cumulative. Le PDF est la probabilité que notre variable aléatoire atteigne une valeur spécifique (ou dans le cas d'une variable continue, de tomber entre un intervalle). Nous montrons qu'en indiquant la probabilité qu'une variable aléatoire X soit égale à une valeur réelle x:
La P
La distribution cumulative est la probabilité que la variable aléatoire X soit inférieure ou égale à la valeur réelle x:
ou par exemple, si votre taille est une variable aléatoire avec une valeur attendue de 5'10 "pouces (la taille moyenne de vos parents), alors la question PDF est:" Quelle est la probabilité que vous atteigniez une hauteur de 5'4 "? " La question correspondante de la fonction de distribution cumulative est: "Quelle est la probabilité que vous soyez plus petit que 5'4"?"
La figure ci-dessus montre deux distributions normales. Vous pouvez maintenant voir ce sont des tracés de fonction de densité de probabilité (PDF). Si nous re-tracons la même distribution exacte qu'une distribution cumulative, nous obtiendrons ce qui suit:
Image de Julie Bang © Investopedia 2020
La distribution cumulée doit finalement atteindre 1, 0 ou 100% sur l'axe des y. Si nous élevons la barre assez haut, à un moment donné, pratiquement tous les résultats tomberont sous cette barre (nous pourrions dire que la distribution est généralement asymptotique à 1, 0).
La finance, une science sociale, n'est pas aussi propre que les sciences physiques. La gravité, par exemple, a une formule élégante sur laquelle nous pouvons compter à maintes reprises. Les rendements des actifs financiers, en revanche, ne peuvent pas être reproduits de manière aussi cohérente. Une somme d'argent stupéfiante a été perdue au fil des ans par des gens intelligents qui ont confondu les distributions précises (c'est-à-dire comme si elles provenaient des sciences physiques) avec les approximations désordonnées et peu fiables qui tentent de représenter les rendements financiers. En finance, les distributions de probabilité ne sont guère plus que des représentations picturales brutes.
Distribution uniforme
La distribution la plus simple et la plus populaire est la distribution uniforme, dans laquelle tous les résultats ont une chance égale de se produire. Un dé à six faces a une distribution uniforme. Chaque résultat a une probabilité d'environ 16, 67% (1/6). Notre graphique ci-dessous montre la ligne continue (afin que vous puissiez mieux la voir), mais gardez à l'esprit qu'il s'agit d'une distribution discrète - vous ne pouvez pas rouler 2.5 ou 2.11:
Image de Julie Bang © Investopedia 2020
Maintenant, lancez deux dés ensemble, comme indiqué dans la figure ci-dessous, et la distribution n'est plus uniforme. Il culmine à sept, ce qui a une chance de 16, 67%. Dans ce cas, tous les autres résultats sont moins probables:
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Maintenant, lancez trois dés ensemble, comme indiqué dans la figure ci-dessous. Nous commençons à voir les effets d'un théorème le plus étonnant: le théorème central limite. Le théorème de la limite centrale promet hardiment que la somme ou la moyenne d'une série de variables indépendantes tendra à devenir normalement distribuée, quelle que soit leur propre distribution . Nos dés sont individuellement uniformes, mais combinez-les et, comme nous ajoutons plus de dés, leur somme tendra presque par magie vers la distribution normale familière.
Image de Julie Bang © Investopedia 2020
Distribution binomiale
La distribution binomiale reflète une série d'essais "soit / ou", comme une série de lancers de pièces. Ce sont des essais de Bernoulli - qui se réfèrent à des événements qui n'ont que deux résultats - mais vous n'avez pas besoin de chances égales (50/50). La distribution binomiale ci-dessous trace une série de 10 lancers de pièces dans lesquels la probabilité de têtes est de 50% (p-0, 5). Vous pouvez voir dans la figure ci-dessous que la chance de retourner exactement cinq têtes et cinq queues (l'ordre n'a pas d'importance) est juste timide de 25%:
Image de Julie Bang © Investopedia 2020
Si la distribution binomiale vous semble normale, vous avez raison. À mesure que le nombre d'essais augmente, le binôme tend vers la distribution normale.
Distribution log-normale
La distribution lognormale est très importante en finance car bon nombre des modèles les plus populaires supposent que les cours des actions sont distribués lognormalement. Il est facile de confondre les rendements des actifs avec les niveaux de prix.
Les rendements des actifs sont souvent traités comme normaux - un titre peut augmenter de 10% ou baisser de 10%. Les niveaux de prix sont souvent traités comme log-normaux - un stock de 10 $ peut aller jusqu'à 30 $ mais il ne peut pas descendre jusqu'à - 10 $. La distribution lognormale est non nulle et asymétrique vers la droite (encore une fois, un stock ne peut pas tomber en dessous de zéro mais il n'a pas de limite théorique à la hausse):
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Poisson
La distribution de Poisson est utilisée pour décrire les probabilités qu'un certain événement (par exemple, une perte quotidienne de portefeuille inférieure à 5%) se produise sur un intervalle de temps. Ainsi, dans l'exemple ci-dessous, nous supposons que certains processus opérationnels ont un taux d'erreur de 3%. Nous supposons en outre 100 essais aléatoires; la distribution de Poisson décrit la probabilité d'obtenir un certain nombre d'erreurs sur une certaine période de temps, comme un seul jour.
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T de l'élève
La distribution T de l'étudiant est également très populaire car elle a une queue légèrement plus grosse que la distribution normale. Le T de l'élève est généralement utilisé lorsque la taille de notre échantillon est petite (c'est-à-dire inférieure à 30). En finance, la queue gauche représente les pertes. Par conséquent, si la taille de l'échantillon est petite, nous osons sous-estimer les chances d'une grande perte. La queue plus grosse sur le T de l'élève nous aidera ici. Même ainsi, il arrive que la grosse queue de cette distribution ne soit souvent pas assez grosse. Les rendements financiers ont tendance à présenter, en de rares occasions catastrophiques, des pertes vraiment lourdes (c'est-à-dire plus importantes que celles prévues par les distributions). D'importantes sommes d'argent ont été perdues à ce sujet.
Distribution bêta
Enfin, la distribution bêta (à ne pas confondre avec le paramètre bêta du modèle de tarification des immobilisations) est populaire auprès des modèles qui estiment les taux de recouvrement des portefeuilles obligataires. La distribution bêta est le joueur utilitaire des distributions. Comme la normale, il n'a besoin que de deux paramètres (alpha et bêta), mais ils peuvent être combinés pour une flexibilité remarquable. Quatre distributions bêta possibles sont illustrées ci-dessous:
The Bottom Line
Comme tant de chaussures dans notre garde-robe statistique, nous essayons de choisir la meilleure coupe pour l'occasion, mais nous ne savons pas vraiment quel temps nous réserve. Nous pouvons choisir une distribution normale puis découvrir qu'elle a sous-estimé les pertes à gauche; nous passons donc à une distribution asymétrique, seulement pour trouver que les données semblent plus "normales" dans la période suivante. Les mathématiques élégantes en dessous peuvent vous inciter à penser que ces distributions révèlent une vérité plus profonde, mais il est plus probable qu'elles ne soient que des artefacts humains. Par exemple, toutes les distributions que nous avons examinées sont assez fluides, mais certains rendements des actifs bondissent de façon discontinue.
La distribution normale est omniprésente et élégante et ne nécessite que deux paramètres (moyenne et distribution). De nombreuses autres distributions convergent vers la normale (par exemple, binôme et Poisson). Cependant, de nombreuses situations, telles que les rendements des fonds de couverture, les portefeuilles de crédit et les événements de pertes graves, ne méritent pas les distributions normales.
